相關性質
解不等式①如果xy，那么yx；如果yx，那么xy；
②如果xy，yz；那么xz；
③如果xy，而z為任意實數或整式，那么x zy z；
④ 如果xy，z0，那么xzyz；如果xy，z0，那么xzyz;
⑤如果xy，z0,那么x÷zy÷z;如果xy，z0,那么x÷zy÷z。
⑥如果xy，mn，那么x my n。
⑦如果xy0，mn0，那么xmyn。
⑧如果xy0，那么x的n次冪y的n次冪（n為正數）。
如果由不等式的基本性質出發，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，以下是其中比較有名的。
⑨如果ab，c0,那么acbc。
如果ab,c0,那么acbc。
可遵循的一些同解原理
主要的有：
①不等式F（x）< G（x）與不等式 G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x） < G（x）的定義域被解析式H（ x ）的定義域所包含，那么不等式 F（x）
③如果不等式F（x）0，那么不等式F(x)<0，那么不等式F（x）H（x）G（x）同解。
④不等式F（x）G（x）>0與不等式同解；不等式F（x）G（x）<0與不等式同解。
注意事項
1.符號：
不等式兩邊都乘以或除以一個負數，要改變不等號的方向。
2.確定解集：
比兩個值都大，就比大的還大；
比兩個值都小，就比小的還小；
比大的大，比小的小，無解；
比小的大，比大的小，有解在中間。
三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。
3.另外，也可以在數軸上確定解集：
把每個不等式的解集在數軸上表示出來，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。帶=號的，數軸上的點是實心的，反之，就是空心的。
解不等式組
解不等式組，可以先把其中的不等式逐條算出各自的解集，然後分別在數軸上表示出來。
以兩條不等式組成的不等式組為例，
①若兩個未知數的解集在數軸上表示同向左，就取在左邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃“同小取小”
②若兩個未知數的解集在數軸上表示同向右，就取在右邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃“同大取大”
③若兩個未知數的解集在數軸上相交，就取它們之間的值為不等式組的解集。若x表示不等式的解集，此時一般表示為a
④若兩個未知數的解集在數軸上向背，那么不等式組的解集就是空集，不等式組無解。
5若兩個未知數的解集出現如：x≤1,y≥1，則解只有1.
(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非負整數解．
分析：對(1)小題中要明白“不小於”即“大於或等於”，用符號表示即為“≥”；(2)小題非負整數，即指正數或零中的整數，所以此題的不等式的解必須是正整數或零．在求解過程中注意正確運用不等式性質．
解：
∴ 120-8x≥84-3(4x+1)
(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因為不大於4的非負整數有0，1，2，3，4五個，所以不等式10(x+4)+x≤84的非負整數解是4，3，2，1，0．
例5 解關於x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)>n(n-x)
分析：解字母係數的不等式與解數字係數不等式的方法、步驟都是類似的，只是在求解過程中常要對字母係數進行討論，這就增加了題目的難度．此類問題主要考察了對問題的分析、分類的能力：它不但要知道什麼時候該進行分類討論，而且還要求能準確地分出類別來進行討論(結合例題解法再給與說明)．
解：(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此時要依x字母係數的不同取值，分別求出不等式的解的形式．
即(n-m)x>n2-m2
當m>n時，n-m<0，∴x
當m0，∴x>n+m；
當m=n時，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式無解．這是因為此時無論x取任何值時，不等式兩邊的值都為零，只能是相等的，所以不等式不成立．
例6 解關於x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由於x是未知數，所以把a看作已知數，又由於a可以是任意有理數，所以在套用同解原理時，要區別情況，分別處理．
解：去括弧，得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移項，得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合併同類項，得
(a+3)x≥3-3a
(3)當a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
這個不等式無解．
說明：在處理字母係數的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數，而把其它字母看作已知數，在運用同解原理把未知數的係數化為1時，應作合理的分類，逐一討論．
例7 m為何值時，關於x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)=4(5-x)的解是非正數．
分析：根據題意，應先把m當作已知數解方程，然後根據解的條件列出關於m的不等式，再解這個不等式求出m的值或範圍．注意：“非正數”是小於或等於零的數．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m
已知方程的解是非正數，所以
例8 若關於x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非負數，(2)負數，試確定k的取值範圍．
分析：要確定k的範圍，應將k作為已知數看待，按解一元一次方程的步驟求得方程的解x(用k的代數式表示之)．這時再根據題中已知方程的解是非負數或是負數得到關於k的不等式，求出k的取值範圍．這裡要強調的是本題不是直接去解不等式，而是依已知條件獲得不等式，屬於不等式的套用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非負數，所以
(2)已知方程的解是負數，所以
例9 當x在什麼範圍內取值時，代數式-3x+5的值：
(1)是負數 (2)大於-4
(3)小於-2x+3 (4)不大於4x-9
分析：解題的關鍵是把“是負數”，“大於”，“小於”，“不大於”等文字語言準確地翻譯成數字元號．
解：(1)根據題意，應求不等式
-3x+5<0的解集
解這個不等式，得
(2)根據題意，應求不等式
-3x+5>-4的解集
解這個不等式，得
x<3
所以當x取小於3的值時，-3x+5的值大於-4．
(3)根據題意，應求不等式
-3x+5<-2x+3的解集
-3x+2x<3-5
-x<-2
x>2
所以當x取大於2的值時，-3x+5的值小於-2x+3．
(4)根據題意，應求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以當x取大於或等於2的值時，-3x+5的值不大於4x-9．
例10
分析：
解不等式，求出x的範圍．
解：
說明：套用不等式知識解決數學問題時，要弄清題意，分析問題中數量之間的關係，正確地表示出數學式子．如“不超過”即為“小於或等於”，“至少小2”，表示不僅少2，而且還可以少得比2更多．
例11 三個連續正整數的和不大於17，求這三個數．
分析：
解：設三個連續正整數為n-1，n，n+1
根據題意，列不等式，得
n-1+n+n+1≤17
所以有四組：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
說明：解此類問題時解集的完整性不容忽視．如不等式x<3的正整數解是1、2，它的非負整數解是0、1、2．
例12 將18.4℃的冷水加入某種電熱淋浴器內，現要求熱水溫度不超過40℃，如果淋浴器每分鐘可把水溫上升0.9℃，問通電最多多少分鐘，水溫才適宜？
分析：設通電最多x分鐘，水溫才適宜．則通電x分鐘水溫上升了0.9x℃，這時水溫是(18.4+0.9x)℃，根據題意，應列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通電最多24分，水溫才適宜．
說明：解答此類問題時，對那些不確定的條件一定要充分考慮，並“翻譯”成數學式子，以免得出失去實際意義或不全面的結論．
例13 礦山爆破時，為了確保全全，點燃引火線後，人要在爆破前轉移到300米以外的安全地區．引火線燃燒的速度是0.8厘米/秒，人離開速度是5米/秒，問引火線至少需要多少厘米？
解：設引火線長為x厘米，
根據題意，列不等式，得
解之得，x≥48(厘米)
答：引火線至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|<4．
解：把2x+1看成一個整體y，由於當-4<4時，有|y|<4，即-4<2x+1<4，
巧解一元一次不等式
怎樣才能正確而迅速地解一元一次不等式？現結合實例介紹一些技巧，供參考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x>10.5．
分析 因為0.25×4=1，所以兩邊同乘以4要比兩邊同除以0.25來得簡便．
解 兩邊同乘以4，得x>42．
2．巧用對消法
例2 解不等式
解 原不等式變為
3．巧用分數加減法法則
故 y<-1．
4．逆用分數加減法法則
解 原不等式化為
，
5．巧用分數基本性質
例5 解不等式
約去公因數2後，兩邊的分母相同；②兩個常數項移項合併得整數．
例6 解不等式
分析 由分數基本性質，將分母化為整數和去分母一次到位可避免繁瑣的運算．
解 原不等式為
整理，得8x-3-25x+4<12-10x，
思考：例5可這樣解嗎？請不妨試一試．
6．巧去括弧
去括弧一般是內到外，即按小、中、大括弧的順序進行，但有時反其道而行之即由外到內去括弧往往能另闢捷徑．
7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)>0．
分析 直接去括弧較繁，注意到左邊各項均含有因式x-3而逆用分配律可速解此題．
解 原不等式化為
(x-3)(278-351×2+463)>0，
即 39(x-3)>0，故x>3．
8．巧用整體合併
例9 解不等式
3{2x-1-[3(2x-1)+3]}>5．
解 視2x-1為一整體，去大、中括弧，得3(2x-1)-9(2x-1)-9>5，整體合併，得-6(2x-1)>14，
9．巧拆項
例10 解不等式
分析 將-3拆為三個負1，再分別與另三項結合可巧解本題．
解 原不等式變形為
得x-1≥0，故x≥1．
練習題
解下列一元一次不等式
③3{3x+2-[2(3x+2)-1]}≥3x+1．
答案
一元一次不等式及一元一次不等式組
一. 填空題（每題3分）
1. 若 是關於 的一元一次不等式,則 =_________.
2. 不等式 的解集是____________.
3. 當 _______時,代數式 的值是正數.
4. 當 時,不等式 的解集時________.
5. 已知 是關於 的一元一次不等式,那么 =_______,不等式的解集是_______.
6. 若不等式組 的解集為 ,則 的值為_________.
7. 小於88的兩位正整數,它的個位數字比十位數字大4,這樣的兩位數有_______個.
8. 小明用100元錢去購買筆記本和鋼筆共30件,如果每枝鋼筆5元,每個筆記本2元,那么小明最多能買________枝鋼筆.
二. 選擇題（每題3分）
9.下列不等式,是一元一次不等式的是 ( )
A. B.
C. D.
10.4與某數的7倍的和不大於6與該數的5倍的差,若設某數為 ,則 的最大整數解是( )
A.1 B.2 C.-1 D0
11.若代數式 的值不大於3,則 的取值範圍是( )
A. B. C. D.
12.某種商品的進價為800元,出售時標價為1200元,後來由於商品積壓,商品準備打折出售,但要保證利潤率不低於5%,則至多可打( )折
A.6 B.7 C.8 D.9
13.若不等式組 的解集是 ,則 的取值範圍是( )
A. B . C. D.
14.不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
15.若不等式組 無解,則不等式組 的解集是( )
A. B. C. D.無解
16.如果 那么 的取值範圍是( )
A. B. C. D.
三. 解答題
17.解下列不等式組（每題5分）
1) 2)
18.當 在什麼範圍內取值時,關於 的方程 有:
(1) 正數解;（6分）
(2) 不大於2的解.（6分）
19.如果關於 的不等式 正整數解為1,2,3,正整數 應取怎樣的值?（10分）
20.某腳踏車保管站在某個星期日接受保管的腳踏車共有3500輛.其中變速車保管費是每輛一次0.5元,一般車保管費是0.3元.
(1) 若設一般車停放的輛數為 ,總保管費的收入為 元,試寫出 與 的關係式;（5分）
(2) 若估計前來停放的3500輛腳踏車中,變速車的輛數不少於25%,但不大於40%,試求該保管站這個星期日保管費收入總數的範圍. （5分）
21.某旅遊團有48人到某賓館住宿,若全安排住賓館的底層,每間住4人,房間不夠;每間住5人,有一個房間沒有住滿5人.問該賓館底層有客房多少間?（10分）
答案：
一． 填空題
1. m=1 2. 3. 4. 5.
6.2 7.5 8.13
二． 選擇題
9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A
三． 解答題
17.1） 2）
18.1） 2）
19.
20.1）
2）
21.設該賓館有x間宿舍； 則x取10或11.
不等式組
1、2X+3>0
-3X+5>0
2、2X<-1
X+2>0
3、5X+6<3X
8-7X>4-5X
4、2（1+X）>3（X-7）
4（2X-3）>5（X+2）
5、2X<4
X+3>0
6、1-X>0
X+2<0
7、5+2X>3
X+2<8
8、2X+4<0
1/2（X+8）-2>0
9、5X-2≥3（X+1）
1/2X+1>3/2X-3
10、1+1/2X>2
2（X-3）≤4
3×60 <= x <= 3×70
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
-4x>3
x+5>-1
4x<3x-5
1/7x<6/7
-8x>10
x=2>6
2x<10
x-2>o.1
-3x<10
x+3>-1
4x>-12
3(2x+5)>2(4x+3)
10_4(x-4)<2(X-1)
5x+1/6-2>x-5/4
2x+5<10
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
4.4x+6y=54
9x+2y=87
5.2x+y=7
2x+5y=19
6.x+2y=21
3x+5y=56
7.5x+7y=52
5x+2y=22
8.5x+5y=65
7x+7y=203
9.8x+4y=56
x+4y=21
4x+7y=95
19.9x+2y=38
3x+6y=18
20.5x+5y=45
7x+9y=69
21.8x+2y=28
7x+8y=62
22.x+6y=14
3x+3y=27
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
x-7>26
3x<2x+1
2/3x>50
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
23.7x+4y=67
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
4.4x+6y=54
9x+2y=87
5.2x+y=7
2x+5y=19
6.x+2y=21
3x+5y=56
7.5x+7y=52
5x+2y=22
8.5x+5y=65
7x+7y=203
9.8x+4y=56
x+4y=21
10.5x+7y=41
5x+8y=44
11.7x+5y=54
3x+4y=38
12.x+8y=15
4x+y=29
13.3x+6y=24
9x+5y=46
14.9x+2y=62
4x+3y=36
15.9x+4y=46
7x+4y=42
16.9x+7y=135
4x+y=41
17.3x+8y=51
x+6y=27
18.9x+3y=99
4x+7y=95
19.9x+2y=38
3x+6y=18
20.5x+5y=45
7x+9y=69
21.8x+2y=28
7x+8y=62
22.x+6y=14
3x+3y=27
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
