素數定理

素數定理，定理描述素數的比較準確的分布情況。素數的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素數的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π（x）為不大於x的素數個數。數學家找到了一些函式來估計π（x）的增長。其中有二個公式是極為重要的，一個是高斯公式，另一個是黎曼公式，素數分布定理是以黎曼公式為中心，以高斯公式為上限的常態分配，這是經過大量大數計算和統計所得出的經驗定理，也可以稱為素數常態分配定理猜想，有待數學家在數學上給出嚴格的證明。

基本信息

• 中文名稱：素數定理
• 提出者：高斯和勒讓德
• 提出時間：1948年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學套用

• 符號：O

簡介

素數定理描述素數的大致分布情況。素數的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素數的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為不大於x的素數個數。數學家找到了一些函式來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

素數定理

:\pi(x)\approx\frac其中lnx為x的自然對數。上式的意思是當x趨近∞，π(x)和x/lnx的比趨近1（註：該結果為高斯所發現）。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。下面是對π(x)更好的估計：:\pi(x)=(x)+O\left(xe^\right)，當x趨近∞。其中(x)= \int_2^x\frac，而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)：xπ(x)π(x)-x/ln(x)Li(x)-π(x)x/π(x)素數定理可以給出第n個素數p(n)的漸近估計：:p(n)\simn\ln\,n.它也給出從整數中抽到素數的機率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素數的機率大約是1/lnn。這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家哈達瑪(Jacques Hadamard)和比利時數學家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函式。因為黎曼ζ函式與π(x)關係密切，關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素數定理誤差的估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為:\pi(x)=(x)+O\left(\sqrt x\ln\,x\right)至於大O項的常數則還未知道。

初等證明

素數定理

素數定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥（“愛爾多斯”，或“愛爾多希”）和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。 在此之前一些數學家不相信能找出不需藉助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素數定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些間題，必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素數定理的初等證明動搖了這論調。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數學，威力也可以很大。category:數論ja:素數定理

素數

素數定理

素數，又稱質數，是只有兩個正因數（1和自己）的自然數。比1大但不是素數的數稱之為合數，而1和0既非素數也非合數。素數的屬性稱為素性，素數在數論中有著非常重要的地位。關於素數最小的素數是2，而最大的素數並不存在，這一點歐幾里德已在其《幾何原本》中證明。圍繞素數存在很多的數學問題、數學猜想、數學定理，較為著名的有孿生素數猜想、哥德巴赫猜想等等。 素數序列的開頭是這樣：:2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71， 73，79，83，89，97，101，103，107，109，113(OEIS:A000040)素數集合有時也被表示成粗體\mathbb。在抽象代數的一個分支－環論中，素元素有特殊的含義，在這個含義下，任何素數的加法的逆轉也是素數。換句話說，將整數Z的集合看成是一個環，-7是一個素元素。不管怎樣，數學領域內，提到素數通常是指正素數。算術基本定理說明每個正整數都可以寫成素數的乘積，因此素數也被稱為自然數的“建築的基石”例如：:23244=2^2\times3\times13\times149關於分解的詳細方法，可見於整數分解這條目。這個定理的重要一點是，將1排斥在素數集合以外。如果1被認為是素數，那么這些嚴格的闡述就不得不加上一些限制條件了。

素數的套用

素數近來被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入素數，編碼之後傳送給收信人，任何人收到此信息後，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找素數的過程），將會因為找素數的過程（分解質因數）過久而無法解讀信息。

實驗驗證

除2、3之外，所有6n±1都可置於一條坐標上，將6n+1分布在左邊，那么中心點為1，右側為6n-1。反正則中心點為-1。坐標上的每個數字產生一條波形，未被覆蓋的點就是素數。波長等於數字自身。
將每條波形拆分，坐標左邊和坐標右邊形成兩條波形，存在兩個焦點。