獨立試驗

獨立試驗

在機率論中,把在同樣條件下重複進行試驗的數學模型稱為獨立試驗序列概型。統計學家伯努利(Bernolli)首先注意並研究了這類試驗,故亦稱之為伯努利試驗。

基本內容

事件的獨立性

獨立試驗 獨立試驗

設有事件A與事件B,如果 ,則稱A與B是相互獨立的。

將試驗E重複進行n次,若各次試驗的結果互不影響,則稱這n次試驗是相互獨立的。

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設A、B為任意兩個隨機事件,且P(A)>0。則A與B相互獨立 P(B|A)=P(B)。

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, ,…, 相互獨立,則其中任兩個事件獨立。但反之則不然,兩兩獨立並不能保證整組獨立 。

獨立試驗

特徵:每次試驗只有兩種可能結果;在相同的條件下,獨立地重複該試驗n次 。

具有上述特徵的試驗稱為n重獨立試驗,統計學家伯努利(Bernolli)首先注意並研究了這類試驗,故亦稱之為伯努利試驗。

伯努利試驗是一個有兩種結果的簡單試驗,它的結果是成功或失敗,黑或白,開或關,沒有中間的立場,沒有妥協的餘地。這樣的例子也特別多,例如我們觀察從一副紙牌中拿出一張牌,它或者是黑色或者是紅色;接生一個嬰兒,或者是男孩或者是女孩;我們經歷24小時的一天,或者遇到流星或者遇不到流星。在每一種情況下,很方便設計一種結果“成功”,另外一種結果為“失敗”。例如選出一張黑色牌,生出一個女兒,沒有遇到流星都可以表示為“成功”。然而,從機率的角度看,選擇紅牌、兒子、遇到流星為成功也是不會產生差異的。在這種場合下,“成功”是沒有價值取向的色彩。單個伯努利試驗是沒有多大意義的,然而,當我們反覆進行伯努利試驗,去觀察這些試驗有多少是成功的,多少是失敗的,事情就變得有意義了,這些累計記錄包含了很多潛在的非常有用的信息 。

相關定理

設在一次試驗中,事件A發生的機率為p(0<p<1),則在n重伯努利試驗中,事件A恰好發生 k 次的機率為:

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,k=0,1,2...n。

推論:設在一次試驗中,事件A首次發生的機率為p(0<p<1),則在伯努利試驗序列中,事件A在第 k 次試驗中才首次發生的機率為 ,k=0,1,2...n 。

特殊分布

二項分布

一般地,在n次獨立重複試驗中,用ξ表示事件A發生的次數,如果事件發生的機率是p,則不發生的機率 q=1-p,N次獨立重複試驗中發生k次的機率是:P(ξ=K)= (k=0,1,2,3…n),那么就說ξ服從二項分布,其中P稱為成功機率,記作:ξ~B(n,p)。

(1)二項分布的期望:E(ξ)=np;

(2)二項分布的方差:D(ξ)=npq 。

幾何分布

在第 n次伯努利試驗中,試驗 k次才得到第一次成功的機率,詳細的說是:前 k-1次皆失敗,第 k次成功的機率。如果事件發生的機率是p,則不發生的機率q=1-p,則P(ξ=K) = 。具有這種分布列的隨機變數,稱為服從參數p的幾何分布。

獨立試驗 獨立試驗

(1)幾何分布的期望E(X)= ;

(2)幾何分布的方差D(X)= 。

舉例

例題: 一批產品的次品率為 5%,從中每次任取一個,檢驗後放回,再取一個, 連取 4 次。求 4 次中恰有 2 次取到次品的機率。

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解:這個試驗為n = 4 的獨立試驗。設 B={恰好有 2 次取到次品},A={取到次品},則 ={取到正品}, ={第i次抽樣抽到次品}。p=P(A)=0.05,q=P( )=0.95,因為 , , , 相互獨立,所以 P(B)= = =0.0135。

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