狄拉克函式:狄拉克δ函式是一個廣義函式，在物理學中常用其表示質點、點電荷 -百科知識中文網

定義

物理學中常常要研究一個物理量在空間或時間中分布的密度，例如質量密度、電荷密度、每單位時間傳遞的動量（即力）等等，但是物理學中又常用到質點、點電荷、瞬時力等抽象模型，他們不是連續分布於空間或時間中，而是集中在空間中的某一點或者時間中的某一瞬時，那么它們的密度應該如何表示呢？

為了在數學上理想地表示出這種密度分布，引入了δ函式的概念。在概念上，它是這么一個“函式”：在除了零以外的點函式值都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。用數學表示為：

上述表達式不規定δ函式在0點的取值，是因為這個值無法嚴謹地表述出來，不能籠統的定義為正無窮，並且函式取值的“大小”是由第二個積分式決定的，因此只需限定取值為零的區域即可。如果函式不在0點取非零值，而在其他地方，可定義

其中H(x)稱為階躍函式或亥維賽單位函式：

可以證明兩種定義是等價的。從第二個定義中，可以看到δ函式可以通過對階躍函式取微分得到，實際上，只要我們對一個不連續函式取微分，就會出現δ函式。

嚴格來說δ函式不能算是一個函式，因為滿足以上條件的函式是不存在的。數學上，人們為這類函式引入了廣義函式的概念，在廣義函式的理論中，δ函式的確切意義應該是在積分意義下來理解。在實際套用中，δ函式總是伴隨著積分一起出現。δ分布在偏微分方程、數學物理方法、傅立葉分析和機率論里都有很重要的套用。

一些函式可以認為是狄拉克δ函式的近似，但是要注意，這些函式都是通過極限構造的，因此嚴格上都不是狄拉克δ函式本身，不過在一些數學計算中可以作為狄拉克δ函式進行計算。

狄拉克δ函式有以下性質，在理解這些性質的時候，應該認為等式兩邊分別作為被積函式的因子時得到的結果相等。

δ（X）偶函式，其導數是奇函式

放縮（或相似性）

該函式所表現出的性質則可看成適用於高階導數的挑選性。