定義
特徵根法是解常係數齊次線性微分方程的一種通用方法。
特徵根法也可用於求遞推數列通項公式，其本質與微分方程相同。
r*r+p*r+q稱為對遞推數列:a(n+2)=pa(n+1)+qan的特徵方程。
方法
對微分方程
特徵根1若實根r1不等於r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2若實根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3若有一對共軛復根（略）
對遞推數列：
特徵根則其對應的特徵方程為：x^2+sx+t=0,設其兩根為α、β
1).當α≠β時，An=k*α^(n-1)+m*β^(n-1)
2).當α＝β時，An=(kn+m)*α^(n-2)
其中k、m的值的求法，用A1、A2的值代入上面的通項公式中，建立方程組解之即可
(1).數列滿足：An+2-4*An+1+4An=0,A1=1,A2=2,求通項An
解：特徵方程為(x-2)^2=0,所以α＝β＝2
設An=(kn+m)*α^(n-2) ，
所以(k+m)/2=1,(2k+m)=2,解得：k=2,m=0
所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1)
(2).裴波那契數列滿足：An+2-An+1-An=0,A1=1,A2=1,求通項An
解：特徵方程為x^2-x-1=0,所以α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2
設An=k*α^(n-1)+m*β^(n-1) ，則有
k+m=1,k*(1-√5)/2+m*(1+√5)/2=1
解得：k=-(√5/5)*α,m=(√5/5)*β
所以An=(√5/5)*β^n-(√5/5)*α^n
1若特徵方程有兩個不等實根r1,r2則an=c1*r1^n+c2*r2^n
其中常數c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一確定。
(1)c1r1+c2r2=a;
(2)c1r1^2+c2r2^2=b
2若特徵方程有兩個相等實根r1=r2=r
an=(c1+nc2)r^n
其中常數c1,c2由初始值唯一確定。
(1)a=(c1+c2)r
(2)b=(c1+2c2)r^2
對方程解的簡便解法
對於常係數齊次線性微分方程組dX/dt=AX,當矩陣A的特徵根λi(i=1,…,r)的重數是ni(≥1),對應的mi個初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni時,它對應方程中ni個線性無關解,其結構形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此時多項式P(i)j(t)的次數小於等於Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由於Mi計算起來非常困難,本文利用相似矩陣的特點和Jordan標準型在Mi-1與ni-1之間找到了一個便於套用的多項式P(i)j(t)次數的上界,使計算起來更加方便和有效.
