正五邊形

正五邊形

正五邊形是指五條長度相等的線段,首尾相連構成的一個封閉形狀且內角相等的平面圖形。正五邊形每個角均為108°,每條邊長度相等。正五邊形是鏇轉對稱圖形,但不是中心對稱圖形。正五邊形的面積公式為:S正五邊形=1/4a^2*√﹙25+10√5﹚。

畫法

常規畫法

(1)已知邊長作正五邊形的近似畫法

①作線段AB等於定長l,並分別以A,B為圓心,已知長l為半徑畫弧與AB的中垂線交於K。

②取AB的2/3長度,沿著中垂線向上取C點,使CK=2/3AB。

③以點C為圓心,已知邊長AB為半徑畫弧,分別與前兩弧相交於M,N。

④順次連線A,B,N,C,M各點即近似作得所要求的正五邊形。

(2)民間口訣畫正五邊形

口訣介紹:“九五頂五九,八五兩邊分”。

畫法:

①畫線段AB=20mm。

②作線段AB的垂直平分線l,垂足為G。

③在l上連續截取GH,HD,使 GH=9.5/5*10mm=19mm,HD=5.9/5*10mm=11.8mm。

④過H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。

⑤連結DE,EA,AB,BC,CD。

五邊形ABCDE就是邊長為20mm的近似正五邊形。

尺規作圖畫法

正五邊形 - 幾何畫板正五邊形 - 幾何畫板

理論依據:cos36°=(1+√5)/4

1. 在平面內作一圓,圓心為O;

2. 在圓O上取一點A,連線AO並延長交圓O於另一點B;【假令|AB|=4】

3. 過點O作CD⊥AB,交圓O於C、D兩點;【此時|CD|=4】

4. 作OB垂直平分線MN,交OB於E點,交圓O於M,N【此時|OE|=|BE|=1】

5. 以點E為圓心,EC長為半徑作弧,交BO延長線於點F;

【此時|EC|=|EF|=√5】

6. 以點B為圓心,BF長為半徑作弧,交圓O分別於G、H兩點;【此時|BF|=|EF|+|BE|=1+√5】

【此時可知cos∠ABG=(|EF|+|BE|)/|AB|=(1+√5)/4=cos36°】

【而∠AOG=2∠ABG=72°=360°/5(直徑所對的圓周角)】

【此時便得到了圓周上的五等分點的其中兩個。。。。。】

7. 以點G為圓心,GA長為半徑作弧,交圓O於P點;

8. 以點H為圓心,HA長為半徑作弧,交圓O於Q點;

9. 連線AG、GP、PQ、QH、HA,則五邊形AGPQH為正五邊形。

圓內接正五邊形

圓內接正五邊形的定義與性質

圓內接正五邊形指內接於圓的正五邊形。圓內接正五邊形的每一條邊相等(即圓的每一條弦相等),每個角均為108°,每個角在圓內所對的優弧相等。

圓內接正五邊形的尺規作圖

(1)以O為圓心,定長R為半徑畫圓,並作互相垂直的直徑MN和 AP. (2)平分半徑ON,得OK=KN. (3)以 K為圓心,KA為半徑畫弧與 OM交於 H, AH即為正五邊形的邊長. (4)以AH為弦長,在圓周上截得A、B、C、D、E各點,順次連線這些點即得正五邊形。

正五邊形的內角和求法

因為五邊形的內角和可看為3個三角形的內角和,所以,3×180°=540°

正五邊形的內角求法

據上一條“正五邊形的內角和求法”可知道,正五邊形的內角和為540°。

往下拓展:因為正五邊形的五個角均相等,且五邊形的內角和為540°;

所以正五邊形的每個內角均為540°÷5=108°

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