朗伯W函式

朗伯W函式

朗伯W函式(Lambert W Function),又稱為“歐米加函式”或“乘積對數函式(product log function)”,是 f(w)=w.exp(w) 的反函式,其中exp(w) 是指數函式,w 是任意複數。對於任何複數 z ,都有: . 由於函式 不是單射,因此函式 W 是多值的(除了0以外)。如果我們把 限制為實數,並要求 是實數,那么函式僅對於 有定義,在 內是多值的;如果加上 的限制,則定義了一個單值函式 (見圖)。我們有 , ,通常 被記作 。而在 內的 分支,則記為 ,從 遞減為 。 朗伯W函式不能用初等函式來表示。它在組合數學中有許多用途,例如樹的計算。它可以用來解許多含有指數的方程,也出現在某些微分方程的解中,例如 。 朗伯W函式,在研究太陽能電池的實際模型中有比較重要的套用。 伯W函式為特殊函式。又稱為“歐米加函式”或“乘積對數函式。

命名

朗伯W函式兩個分支的圖像 朗伯W函式兩個分支的圖像
朗伯W函式 朗伯W函式

朗伯W函式(Lambert W Function)由約翰·海因里希·朗伯(Johann HeinrichLambert)命名。在Digital Library of Mathematical Functions(儲存特殊函式的數學運用的一個網路項目)中主分支

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被表示為

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,分支 被表示為 。

微分與積分

微分

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滿足微分方程

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所以

朗伯W函式 朗伯W函式

此外,我們有

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積分

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函式 或一些包含 的表達式可運用代換 進行積分。( )

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特殊的有

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漸近展開式

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函式 有泰勒展開式

朗伯W函式 朗伯W函式
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收斂半徑為 。

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對於大的數 , 有漸近展開式

朗伯W函式 朗伯W函式

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其中 , , 是非負的第一類斯特靈數(Stirling number of the first kind)。

在展開式中只留前兩項

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另一分支 ,當 時有相似的漸進展開式, , 。

複數次方

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的平方有泰勒公式

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更一般的情況下,當 是整數,有

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的 次方有泰勒公式

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其中 是任意複數,

恆等式

用朗伯W函式的定義,我們有

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特殊值

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當 為一非0的代數數時, 為超越數。如果 為非0的代數數,運用林德曼-魏爾斯特拉斯定理(Lindemann–Weierstrass theorem) , 一定是超越的,因此 也是超越數。

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其中 為歐米加常數(Omega constant) 。

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舉例介紹

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朗伯W函式可以解許多包含指數函式 的方程。其中主要的方法是把所有未知數移向一邊,令方程變成 形式,解出 。

例子1

朗伯W函式 朗伯W函式

更一般的

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其中 ,可以使用代換

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解出

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因此最後答案為

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如果 ,方程有第二個解

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例子2

朗伯W函式 朗伯W函式
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因為根據定義,有

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例子3

朗伯W函式 朗伯W函式

關於超-4運算(tetration,另見超運算)的方程

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如果超運算收斂至一個數 ,則

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解出

朗伯W函式 朗伯W函式

例子4

朗伯W函式 朗伯W函式

的解為

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例子5

延遲微分方程(delay differential equation)

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的特徵方程為

解出

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其中 為朗伯W函式的分支。如果 ,則只用考慮其主分支 。

數值估算

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朗伯W函式 朗伯W函式

朗伯W函式可以用牛頓疊代法(Newton's method)求其近似值 使 。

朗伯W函式 朗伯W函式

函式亦可以使用哈雷疊代法(Halley's method)求近似值。

朗伯W函式 朗伯W函式

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