定義
循環碼：無權碼，每位代碼無固定權值，任何相鄰的兩個碼組中，僅有一位代碼不同。
一個( n, k)線性分組碼 C，若它的任一碼字的每一循環移位暫存器都是 C的一個碼字，則稱 C是一個循環碼。
信息組
表1(7,4)循環碼
信息組
m m m m
碼字
CCCCCCC
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0 0 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
給出(7,4)循環碼，由於循環碼是線性分組碼的一種，所以它也具有封閉性，任意兩個碼字相加之和必是另一碼字。所以它的最小碼距也就是非零碼字的最小碼重。在表1給出的(7,4)循環碼中， d=3。而且根據定義，任一碼字的每一循環移位的結果都是(7,4)循環碼的一個碼字。但某一碼字的循環移位，並不能生成所有的碼字。對於一個循環碼來說，可以同時存在多個循環圈。
編碼種類
十六進制數
自然二進制碼
循環二進制碼
十六進制數
自然二進制碼
循環二進制碼
0
0000
0000
8
1000
1100
1
0001
0001
9
1001
1101
2
0010
0011
A
1010
1111
3
0011
0010
B
1011
1110
4
0100
0110
C
1100
1010
5
0101
0111
D
1101
1011
6
0110
0101
E
1110
1001
7
0111
0100
F
1111
1000
特徵
為了探討循環碼的特徵，把碼字 C=( C C… C C)用如下的碼多項式 C( x)來表示。
（1）特性一
在一個( n, k)循環碼中，存在惟一的一個 n－ k次碼多項式：
每一個碼多項式 C( x)都是 g( x)的一個倍式，反之每個為 g( x)倍式，且次數小於等於 n－1的多項式必是一個碼多項式。
由此可見，( n, k)循環碼中的每一個碼多項式 C( x)均可由下式表示：
如果 m( x)的係數( m… m m)就是表示待編碼的 k位信息位，則 C( x)就是對應於此信息組 m( x)的碼多項式。因此( n, k)循環碼完全可由 g( x)確定。 g( x)也稱為循環碼( n, k)的生成多項式。 g( x)的次數 n－ k等於碼中一致校驗位的位數。
（2）特性二
( n, k)循環碼的生成多項式是 x+1的因子，即：
x+1= g( x) h( x)
其中 h( x)稱為碼的一致校驗多項式，循環碼的 H矩陣也可以通過 h( x)來生成。
（3）特性三
若 g( x)是一個 n－ k次多項式，並且是 x+1的因子，則 g( x)一定能生成一個( n, k)循環碼。
表2.5給出了多項式 x +1中所含有的部分生成多項式和相應的循環碼。
循環碼的編碼
（1）編碼方法
根據上述的三個循環碼特徵，可以有三種( n, k)循環碼的編碼方法。
表2 x +1中的部分 g ( x)
循環碼
碼距
生成多項式 g( x)
校驗多項式 h( x)
(7,6)
2
x+1
( x + x+1)( x + x +1)
(7,4)
3
x + x+1
( x + x +1)( x+1)
(7,3)
4
( x+1)( x + x+1)
x + x +1
(7,1)
7
( x + x +1)( x + x+1)
x+1
① 用生成多項式編碼
a．選擇一個能除盡 x+1的 n－ k= r次生成多項式 g( x)。
b．由 g( x)生成各碼多項式。
c．找出與碼多項式相對應的循環碼字。
② 用生成矩陣編碼
有兩種求生成矩陣的方法：
a．因為 g( x)是最低次數的碼多項式。且 xg( x)， x g( x)，…， x g( x)皆為碼多項式。用它們構成 G，再用行變換把 G變換為典型生成矩陣，然後用其編碼。
b．用 g( x)除 x ( i=0，1，…， k－1)，得：
於是是 g( x)的倍式，且次數小於等於 n－1，所以為碼多項式。用此方法可得到 k個碼多項式，可以直接構成典型生成矩陣，用以編碼。
③ 用餘式確定校驗位
a.用乘信息多項式 m( x)。
b.用 g( x)除 m( x)得到餘式 r( x)。
c.生成碼多項式 m( x)+ r( x)。
第一種方法可用乘法電路來完成，第二種方法用生成矩陣 G編碼是一般線性分組編碼的通用方法，利用這一種方法編循環碼，體現不出循環碼的優點，第三種方法可用除法電路來完成，套用比較廣泛。
（2）除法電路編碼器
以 g( x)= x + x+1生成(7,4)循環碼的編碼器為例。
編碼器主要由一除法電路構成。除法電路由移位暫存器和模2加法器組成。移位暫存器的個數與 g( x)的次數相等。因為 g( x)= x + x+1，所以移位暫存器有三個。 g( x)多項式中的係數是1還是0表示該移位暫存器的輸入端反饋線的有無。圖中 x的一次項的係數為1，所以 D的輸入端有反饋線及模2加法器。信息輸入時，門打開，K接通，信息送入除法器的同時，向外輸出；信息位送完，門關閉，K接通。除法電路中 D D D的內容，即所得餘式，也就是校驗位緊隨信息位輸出，完成一個碼字的編碼過程。這裡設信息碼元為1101，編碼結果為1101001。
工作過程
輸入 m
移位暫存器
DDD
輸出
1
1 1 0
1
1
1 0 1
1
0
1 0 0
0
1
1 0 0
1
0
0 1 0
0
0
0 0 1
0
0
0 0 0
1
解碼
令 S( x)是接收多項式 R( x)= r x +…+ r x+ r的伴隨式，利用生成多項式 g( x)除 xS( x)所得的餘式 S ( x)，就是 R( x)循環移位一次 R ( x)的伴隨式。
因此，可用伴隨式運算電路依次求出對應於各碼位的伴隨式。以 g( x)= x + x+1的(7,4)循環碼為例，其伴隨式運算電路由圖2.19給出。
圖5 伴隨式運算電路
表6是錯誤圖樣和相應的伴隨式。
表6 錯誤圖樣和伴隨式
移存器狀態
DDD
錯誤圖樣
eeeeeee
伴隨式
SSS
1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1
1 1 0
0 0 0 1 0 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 0 0 1 0 0
0 1 1
1 1 1
0 0 0 0 0 1 0
1 1 1
1 0 1
0 0 0 0 0 0 1
1 0 1
可以看出如果我們在伴隨式運算電路中賦予一個與 e出錯項對應的伴隨式 S=001，隨著伴隨式電路的運算，移存器中的內容就會是依次是 e, e,…, e的伴隨式。
定理表明如果 e( x)的伴隨式是 S( x)，則 xe( x)的伴隨式 t( x)= S ( x)。它相當於 S( x)在伴隨式運算電路里的循環移一位。當差錯碼元移到最高位時，就和最高位出錯的伴隨式相同，這就大大簡化了解碼器的結構。 g( x)= x + x+1的(7,4)循環碼的解碼電路由圖7給出。
解碼器
縮短循環碼
循環碼的生成多項式 g( x)應該是 x+1的一個( n－ k) 次因子，但有時在給定碼長 n時， x+1的因子不能滿足設計者的需要，為了增加選擇機會，往往採用縮短循環碼。
在( n, k)循環碼的2 個碼字中選擇前 i位信息位為0的碼字，共有2 個，組成一個新的碼字集。這樣就構成了一個( n－ i, k－ i)縮短循環碼。
在縮短循環碼中，校驗碼原位數不變，縮短的僅僅是信息位，因此( n－ i, k－ i)縮短循環碼的糾檢錯的能力不低於( n, k)碼的糾檢錯能力。但碼字間已失去了循環特徵。
在數據通信中廣泛採用的循環冗餘檢驗碼(CRC，Cyclic Redundancy Checks)，是一種循環碼，常利用縮短循環碼，如CRC－12、CRC－16、CRC－CCITT碼，表8給出了它們的生成多項式。
常用CRC碼
CRC碼
生成多項式
CRC－12
x + x + x + x + x+1
CRC－16
x + x + x +1
CRC－CCITT
x + x + x +1
BCH碼
BCH碼是循環碼的一個重要的子類，它是一種能糾正多個隨機錯誤的套用最為廣泛和有效的差錯控制碼。
定義：對於任意正整數 m( m≥3)和 t( t<2 =一定存在一個具有下列參數的二進制BCH碼：
碼長 n=2 －1
校驗位數目 n－ k≤mt
最小距離 d≥2 t+1
BCH碼可以分為兩類，即本原BCH碼和非本原BCH碼。本原BCH碼碼長 n=2 －1，它的生成多項式 g( x)中含有最高次數為 m的本原多項式，本原多項式是一個既約多項式，它能除盡 x+1的最小正整數 n，滿足 n=2 －1。具有循環碼特性，糾單個隨機錯誤的漢明碼，是可糾單個隨機錯誤的本原BCH碼。而非本原BCH碼中的生成多項式 g( x)中不含本原多項式，且碼長 n是2 －1的一個因子，著名的戈雷(Golay)碼，就屬於非本原BCH碼。
給出了 n≤31的本原BCH碼的參數和生成多項式。
本原BCH碼生成多項式
n k t
g( x)
7 4 1
g( x)=13
1 3
g( x)(15)=177
15 11 1
g( x)=23
7 2
g( x)(37)=721
5 3
g( x)(7)=2467
1 7
g( x)(31)=77777
31 26 1
g( x)=45
21 2
g( x)(75)=3551
16 3
g( x)(67)=10765 7
11 5
g( x)(57)=54233 25
n k t
g( x)
6 7
g( x)(73)=31336 5047
1 15
g( x)(51)=17777 77777 7
表中的每一位數字為八進制數，代表 g( x)多項式中3個二進制係數。如 n=31， k=26, t=1的BCH碼的生成多項式 g( x)=45。45表示100101，所以，該BCH碼的 g( x)= x + x +1。有了生成多項式表就可很方便地構造所需的BCH碼。
里德—所羅門(Read-Solomon)碼
除了二進制碼之外，還有非二進制碼。如果 P是一素數， q是 p的任意次冪，存在著由伽羅華域GF( q)產生的碼。這些碼稱為 q進制碼。 q進制碼的編碼和解碼都與二進制碼相似。
對任意選擇的正整數 s和 t，存在長度為 n= q－1的 q進制BCH碼。它能糾正 t個錯誤，而只用2 St個校驗位。 S=1時的 q進制BCH碼是 q進制BCH碼中的一類最重要的子碼。這類子碼稱為里德——所羅門(Read-Solomon)碼，簡稱 R- S碼。糾 t位錯誤，係數為GF( q)中元素的R-S碼具有下列參數：
碼長： n =q－1
校驗位數目： n－ k=2 t
最小距離： d=2 t+1
R-S碼對糾多重突發差錯非常有效。
R-S碼把 L位(例如8位)的一個位元組，作為一個編碼符號。如果我們要設計一個糾 t=5位錯誤的，由8位位元組組成的R-S碼，碼長為 q－1=255位元組(這裡， p=2, q=2 )。那么根據R-S碼的參數，校驗位的數目為 r= n－ k=2 t=10位元組(80位)，其餘 k= n－ r=245位元組(1960位)是信息位。
