首先，我們定義康托爾集C：
將基本區間[0，1]用分點1/3，2/3三等分，並除去中間的開區間（1/3，2/3），把餘下的兩個閉區間各三等分，並除去中間的開區間（1/9，2/9）,（7/9，8/9）。然後再將餘下的四個閉區間用同樣的方法處理。
這樣，我們得到被去掉的開集G=(1/3,2/3)∪(1/3^2,2/3^2)∪(7/3^2,8/3^2)∪(1/3^3,2/3^3)∪(7/3^3,8/3^3)∪(19/3^3,20/3^3)∪(25/3^3,26/3^3)∪......康托爾集C=[0，1] - G。
下面，我們定義康托爾函式：
引進[0，1]中小數的三進制表示來考察，例如1/3(10)=0.1(3)(括弧中的數表示進制)，2/3(10)=0.2(3)，1/9(10)=0.01(3)，2/9(10)=0.02(3)，7/9(10)=0.21(3)，8/9(10)=0.22(3)，但是1/3又可表示成0.02222...(3)，這裡約定用無限表示。基於此，可以發現，(1/3，2/3)區間中的數用3進制表示時，第一個不為0 的數一定是1。歸納可證，G中的點，表示成三進制時，必有一位為1，而C={0.x1x2x3...(3)：每個xi為0或2}。（由此可以看到C的勢為 阿列夫）
現在定義函式f：C -->[0，1]，令yi=xi/2，f(x)=0.y1y2y3...(2)，其中x=0.x1x2x3...(3).
則對G中區間的端點，函式值相等。
如f(1/3)=f(0.02222...(3))=0.01111(2)=0.1(2) f(2/3)=f(0.2(3))=0.1(2) = f(1/3)
其他區間端點同樣可得。
將f的定義域擴展到[0，1]，使G中區間裡的所有點的值定義為端點的值。由於C中沒有孤立點，且f在C上是單調的，這樣f：[0,1]-->[0,1]，是連續的。
這個函式的導數恆等於0，但他的值卻從0增加到了1。
