守恆格式

守恆格式, 並用幾個典型算例進行了檢驗計算, 結果表明: 本文 激波等間斷具有很高的解析度。 得到的二維時2空守恆格式保留了一維格式所有的優點.它把時間與空間完全統一起來同等對 待, 並從守恆律積分型方程出發, 通過設立守恆元和解元, 使格式局部和全局都嚴格保證其物 理意義上的守恆律.

守恆格式

正文

一類差分格式。如果差分格式的解滿足微分方程所描述的守恆律的離散模型，就稱它是該微分方程的守恆格式。
描述d 維空間 Rd 中的一個區域Ω內、在時間間隔【0，T】上物理量U(尣，t)的守恆性質,一般可以用積分關係式表示為

式中F是一個d維向量,表示流量,它的每一個分量都是U(包括它的導數)的函式，有時還依賴於尣和t；Q 是源項；嬠ω是ω的邊界；n是ω 的外法線方向。當U 和F充分光滑時，積分關係式(1)與微分方程

(2)

是等價的。這種形式的方程稱為守恆律，在物理學、力學及其他各門學科的研究中經常碰到。例如在笛卡兒直角坐標系中，非定常可壓縮理想流體力學方程就是一組描述質量、動量、能量守恆的守恆律，即

式中ρ、u、p、E分別表示密度、速度、壓力、總能量，l是單位張量。又如描述熱量守恆的熱傳導方程

　 (3)

也是一個守恆律,其中U＝сvT,сv是定容比熱，T是溫度；流量F=-kgradT依賴於T 的導數，k是熱傳導係數。如果方程(3)中的未知量T不依賴於時間t,即方程左端等於零，可得描述定常問題的橢圓型方程。
守恆格式一般是從積分守恆關係式(1)出發,利用積分插值方法建立起來的。首先將區域Ω剖分為一組子區域{ωj}。取(1)中的積分區域ω為任一ωj，t2＝t1+Δt。然後將(1)中的積分用離散化的近似公式代替。如果 ωj與ωj是兩個相鄰的子區域，它們的邊界就有共同的部分Γij。當Γij 作為ωj的邊界和作為ωj的邊界時，其上的外法線方向n正好相反，所以當時,流量離散化以後的表達式應該只差一個負號。這意味著從一個子區域流出的物理量全部流入相鄰的子區域，因而保持了守恆的性質，這樣就得到守恆格式。
一維(d＝1)守恆律的守恆格式的一般形式為

，

式中α、β均取閉區間【0，1】上的值,，是和相容的。對於二維(d＝2)問題的守恆格式，以拋物型方程

為例。將方程(4)在時間間隔【tn，tn+1】和空間區域ω上積分，就得等價的積分守恆關係式(1)，式中

。

取ω為

和

四條直線所圍成的矩形，然後用近似積分公式得出

式中

而可取作

或其他近似式。橢圓型方程的守恆格式可類似地得出。
守恆格式的優點在於它的解能比較好地反映物理量基本的守恆性質。同時，由於守恆格式可以看作是從積分守恆關係式(1)出發建立的,對於間斷解,微分方程(2)是不成立的，但是積分關係式(1)仍然滿足,因此用守恆格式來計算間斷解往往不失為一種有效的方法。
參考書目
　馮康等編：《數值計算方法》，國防工業出版社，北京，1978。

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