外森比克不等式

=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2]/(3√3) ≤(a^2+b^2+c^2)/(√3) 即:4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

定理內容

若a,b,c為三角形三邊長,S是三角形面積,
則:a^2+b^2+c^2≥(4√3)S

定理證明

定理證明如下:
海倫公式,三角形面積可表示為:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2
則:4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
由於三角形任意兩邊之和大於第三邊,所以根號里各項都是正數,
由均值不等式可得:
4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}
=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)
=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2]/(3√3)
≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
即:4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
整理得
a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 證畢。

定理的加強與推廣

哈德維格爾不等式

外森比克不等式還可以加強為:a^2+b^2+c^2≥(4√3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2,
也就是費恩斯列爾・哈德維格爾(Hadwiger Finsler)不等式。

佩多不等式

佩多不等式(Don Pedoe Inequality)是外森比克不等式的推廣,其內容為:
如果第一個三角形的邊長為a,b,c,面積為f,第二個三角形的邊長為A,B,C,面積為F,那么:
A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(b^2+a^2-c^2)≥16Ff
等式成立若且唯若兩個三角形對應邊成比例,也就是a / A = b / B = c / C。

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