單調實數序列的收斂性
定理
如果ak是一個單調的實數序列（例如ak≤ak+1），則這個序列具有極限（如果我們把正無窮大和負無窮大也算作極限的話）。這個極限是有限的，若且唯若序列是有界的。證明
我們證明如果遞增序列{an}有上界，則它是收斂的，且它的極限為
。由於{an}非空且有上界，因此根據實數的最小上界公理，c=
存在，且是有限的。現在，對於每一個
，都存在一個aN，使得aN>c-
，否則c- 是{an}的一個上界，這與c為最小上界 的事實矛盾。於是，由於{an}是遞增的，對於所有的n > N，都有
，因此根據定義，{an}的極限為 。證畢。類似地，如果一個實數序列是遞減且有下界，則它的最大下界就是它的極限。
單調級數的收斂性定理
如果對於所有的自然數j和k，aj,k都是非負實數，且aj,k≤aj+1,k，則
勒貝格單調收斂定理
這個定理是前一個定理的推廣，也許就是最重要的單調收斂定理。定理
設( X,，A，
)為一個測度空間。設f1，f2......為 -可測的[0,
]值單調遞增函式。也就是說：
。接著，設序列的逐點極限為f。也就是說：
，那么，f是 -可測的，且：
。證明
我們首先證明f是 -可測函式。為此，只需證明區間[0,t]在f下的原像是X上的σ代數A的一個元素。設I為[0，
)的一個子區間。那么：
，另一方面，由於[0,t]是閉區間，因此：
等價於
，所以：
。注意可數交集中的每一個集合都是A的一個元素，這是因為它是一個波萊爾子集在
-可測函式
下的原像。由於根據定義，σ代數在可數交集下封閉，因此這便證明了f是 -可測的。需要注意的是，一般來說，任何可測函式的最小上界也是可測的。現在我們證明單調收斂定理的餘下的部分。f是
-可測的事實，意味著表達式
是定義良好的。我們從證明
開始。
根據勒貝格積分的定義，其中SF是X上的-可測簡單函式的交集。由於在每一個，都有，我們便有：
包含於
，因此，由於一個子集的最小上界不能大於整個集合的最小上界，我們便有：
，右面的極限存在，因為序列是單調的。我們現在證明另一個方向的不等式（也可從法圖引理推出），也就是說，我們來證明：
從積分的定義可以推出，存在一個非負簡單函式的非遞增序列gn，它幾乎處處逐點收斂於f，且：
只需證明對於每一個
，都有：
，這是因為如果這對每一個k都成立，那么等式左端的極限也將小於或等於等式右端。我們證明如果gk是簡單函式，且
幾乎處處，則：
由於積分是線性的，我們可以把函式
分拆成它的常數部分，化為是σ代數A的一個元素B的指示函式的情況。在這種情況下，我們假設
是一個可測函式的序列，它在B的每一個點的最小上界都大於或等於一。為了證明這個結果，固定
，並定義可測集合的序列：
根據積分的單調性，可以推出對於任何的
，都有
根據
的假設，對於足夠大的n，任何B內的x都將位於
內，因此：
，所以，我們有：
利用測度的單調性，可得
，取
，並利用這對任何正數都正確的事實，定理便得證。