簡介
周期
單擺做簡諧運動的周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、擺球的質量無關。公式
單擺是一種理想的物理模型，它由理想化的擺球和擺線組成．擺線由質量不計、不可伸縮的細線提供；擺球密度較大，而且球的半徑比擺線的長度小得多，這樣才可以將擺球看做質點，由擺線和擺球構成單擺．在滿足偏角<10°的條件下，單擺的周期：
從公式中可看出，單擺周期與振幅和擺球質量無關．從受力角度分析，單擺的回覆力是重力沿圓弧切線方向並且指向平衡位置的分力，偏角越大，回復力越大，加速度（gsin）越大，在相等時間內走過的弧長也越大，所以周期與振幅、質量無關，只與擺長l和重力加速度g有關．在有些振動系統中l不一定是繩長，g也不一定為9.8m/s，因此出現了等效擺長和等效重力加速度的問題．
單擺物理上有些問題與單擺類似，經過一些等效可以套用單擺的周期公式，這類問題稱為“等效單擺”．等效單擺在生活中比較常見．除等效單擺外，單擺模型在其他問題中也有套用．
說明
質點振動系統的一種，是最簡單的擺。繞一個懸點來回擺動的物體，都稱為擺，但其周期一般和物體的形狀、大小及密度的分布有關。但若把尺寸很小的質塊懸於一端固定的長度為l且不能伸長的細繩上，把質塊拉離平衡位置，使細繩和過懸點鉛垂線所成角度小於10°，放手後質塊往復振動，可視為質點的振動，其周期T只和l和當地的重力加速度g有關，即而和質塊的質量、形狀和振幅的大小都無關係，其運動狀態可用簡諧振動公式表示，稱為單擺或數學擺。如果振動的角度大於10°，則振動的周期將隨振幅的增加而變大，就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當大，繩的質量不能忽略，就成為復擺（物理擺），周期就和擺球的尺寸有關了。首先由牛頓力學，單擺的運動可作如下描述：動力學方程
首先我們可以得到，
其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，θ是單擺與豎直方向的夾角，注意，θ是矢量，這裡取它在正方向上的投影。
我們希望得到擺角θ的關於時間的函式，來描述單擺運動。由角動量定理我們知道，
其中
是單擺的轉動慣量，
是角加速度。於是化簡得到
（1）小角度近似周期
我們知道（1）式是一個非線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。不過，在θ比較小時，近似地有sinθ≈θ。（即
。）因而此時（1）式就變為
，這是一個二階常係數線性齊次微分方程，其通解為，式中A.為任意常數，由初值條件給定。而
於是單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動
一般在聯考之類的考試中，認為10°以下可以這樣近似。
事實上5°≈0.087266弧度，Sin5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函式的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
單擺圖片伽利略第一個發現擺的振動的等時性，並用實驗求得單擺的周期隨長度的二次方根而變動。惠更斯製成了第一個擺鐘。單擺不僅是準確測定時間的儀器，也可用來測量重力加速度的變化。惠更斯的同時代人天文學家J.里希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬蓋亞那，發現每天慢2.5分鐘，經過校準，回巴黎時又快2.5分鐘。惠更斯就斷定這是由於地球自轉引起的重力減弱。I.牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質量成正比的。直到20世紀中葉，擺依然是重力測量的主要儀器。
真實周期推導
上面提到是角度比較小的時候單擺的近似公式，但科學是嚴謹的，在此補充在任意角度下單擺的周期公式。在此之前先提出兩個概念（我用mathematica的定義）：
第一類不完全橢圓積分：
第一類完全橢圓積分：
下面我用微分方程進行討論，讀者可以嘗試用動能定理進行計算，可以更簡潔地得到其特解。
設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ，那么單擺的運動公式為：
令
，於是有
上式改寫成：
這是一個可分離變數的微分方程！分離變數：
其通解為
給定初始條件
（0≤α≤π），，則其特解為：
所以考慮t（t是四分之一周期）：
設
，則
又考慮到
便可以化簡得到
按照前面的定義，便有
此處的α就是常說的擺角。
近似公式與真實值差別
利用電腦軟體，我們列出近似公式與真實公式的差別。下面數據皆是相對誤差：相對誤差=（真實值-近似值）/真實值
每一行，擺角相差1度，自0取到180度。
0
0.0019038558531896002%
0.0076153871712633745%
0.01713448526148856%
0.030460969075184717%
0.047594585366650885%
0.06853500891589595%
0.09328184281540482%
0.12183461882124084%
0.1541927977688524%
0.1903557700540208%
0.23032285617945628%
0.27409330736761933%
0.32166630624041737%
0.37304096756649924%
0.42821633907694606%
0.48719140235023334%
0.549965073767417%
0.6165362055385787%
0.686903586801647%
0.7610659447947971%
0.839021946103721%
0.92077019798515%
1.006309249768103%
1.0956375943344412%
1.188753669680396%
1.2856558605608566%
1.386342500218304%
1.490811872198394%
1.599062212254311%
1.7110917103421366%
1.8268985127096076%
1.9464807240807704%
2.0698364099391786%
2.1969635989124314%
2.3278602852610035%
2.4625244314744745%
2.600953970978439%
2.7431468109555626%
2.8891008352844154%
3.038813907599942%
3.192283874479603%
3.3495085687594606%
3.5104858129847005%
3.675213422999331%
3.843689211680047%
4.0159109928195225%
4.191876585164665%
4.371583816615697%
4.555030528592199%
4.742214580572629%
4.933133854814164%
5.127786261260084%
5.326169742642323%
5.5282822797872475%
5.734121897133129%
5.9436866684683%
6.156974722899461%
6.3739842510601274%
6.594713511569824%
6.819160837755173%
7.04732464464473%
7.279203436250061%
7.514795813146305%
7.754100480366246%
7.99711625562274%
8.243842077875229%
8.494277016257039%
8.748420279381131%
9.006271225043092%
9.2678293703413%
9.533094402235417%
9.802066188565687%
10.074744789556986%
10.351130469833013%
10.63122371096772%
10.915025224602775%
11.202535966161768%
11.493757149193899%
11.788690260382037%
12.087337075252421%
12.389699674625776%
12.695780461852351%
13.00558218087636%
13.319107935178396%
13.636361207647948%
13.957345881441757%
14.282066261887804%
14.610527099499105%
14.942733614166162%
15.278691520602091%
15.61840705511994%
15.961887003827869%
16.309138732334322%
16.660170217062607%
17.014990078281997%
17.373607614971124%
17.7360328416386%
18.10227652723615%
18.472350236310504%
18.846266372552723%
19.224038224916786%
19.605680016494205%
19.991206956347447%
20.380635294522822%
20.773982380483087%
21.171266725221678%
21.57250806734433%
21.977727443430435%
22.386947263015642%
22.800191388569722%
23.21748522087999%
23.63885579029045%
24.06433185429185%
24.493944002007527%
24.92772476617582%
25.365708743292277%
25.807932722644754%
26.254435825053335%
26.70525965221522%
27.160448447654655%
27.62004927039044%
28.08411218256101%
28.552690452391587%
29.025840774051932%
29.50362350614023%
29.986102930741776%
30.47334753525516%
30.965430319458193%
31.462429130607322%
31.96442702973461%
32.47151269273426%
32.98378085032637%
33.50133277156177%
34.0242767962028%
34.552728922099824%
35.086813454603366%
35.62666372613477%
36.17242289531702%
36.72424483658309%
37.282295132982576%
37.84675218706157%
38.41780846727546%
38.99567191050804%
39.58056750504079%
40.172739082901636%
40.77245135613077%
41.37999223839477%
41.99567550190461%
42.61984383019676%
43.25287234061159%
43.895172667035965%
44.54719771472042%
45.20944722616039%
45.88247433208869%
46.56689330724679%
47.263388810526784%
47.972726968588255%
48.69576876871157%
49.433486371410815%
50.18698315232789%
50.95751856030661%
51.7465392710714%
52.55571868071775%
53.38700761086381%
54.24270033499423%
55.12552192866632%
56.03874591621829%
56.986355981090206%
57.97327350290041%
59.00568652891076%
60.09154082585585%
61.24130132912596%
62.46918883739732%
63.795307588848516%
65.24958544634976%
66.87982354979094%
68.77058140504862%
71.09802414324294%
74.36597547372776%
100%
精確函式
單擺的角度隨時間的變化，用積分的方法無限逼近，可以有精確結果，有電腦程式來執行，誤差也可以得到計算，逼近的方法如下，假設角速度為ω，ω=dα/dt，擺角的加速度為dω/dt，根據牛頓定律,L*dω/dt=-g*sin（α），此公式用下列方法積逼近
ω（t)=-Σ√（L/g)sin（α）Δt，當Δt，足夠小的時候，ω（t）的值誤差就收斂在要求範圍內，同樣
α（t)=Σ[（ω（t)+ω（t+Δt)]/2Δt（為更快收斂在截取點去平均值）
把Δt不斷分割小，用上述公式計算α就會也越來越接近，在一定時間（N個周期）計算的精度誤差小於一定值的，則可得到精確結果。
小角近似公式和實際曲線比較從結果得知，精確的結果和物理書近似公式一樣，是一個三角函式（或者無限逼近一個三角函式），只是在最大振幅擺動比較大的時候，周期發生了較大的變化。由下圖紅線（物理書近似公式）和綠線（計算機逼近積分）可以看到當振幅是60度時，周期的差別。
當最大擺角越大，由簡諧震動而來物理書計算公式誤差也越大。然而經過計算機模擬，發現單擺運動仍然是簡諧運動，只不過頻率減慢，或周期加長，頻率減慢的幅度單純是最大振幅角的一個簡單函式，與擺長無關。
假設擺角為，時間為t，最大擺角是α0，則單擺α隨時間變化真正的公式是
α（t）=α0cos(√（g/L)*（1-0.0620315447*α0*α0)*(t-t0))
（此係數0.0620315447套用於α0角是弧度度單位，在-π/2到π/2之間）
或者
α（t）=α0cos(√（g/L)*（1-1.89519687E-05*α0*α0)*(t-t0))
（此係數套用於α0角是角度單位，在-90到90度之間）
經驗角速度校正係數近似公式和實際比較也就是說，當物理書近似公式的擺動頻率是ω0=√（L/g)時
在最大擺角為90度範圍內，真正的單擺運動仍然非常逼近三角函式，只是真正的頻率是近似頻率乘以一個簡單的二次方函式。
ω=（1-0.0620315447*α0*α0)*ω0=（1-0.0620315447*α0*α0)*√（L/g)
而這個公式，可以在振幅0-85度範圍內，誤差全部小於0.01%。
這個常數係數0.0620315447是由對於模擬周期測量之後，算出角速度ω，左圖隨著振幅角度的變化，電腦得出精確函式的角速度ω
與物理書近似公式的角速度ω0的比率ω/ω0，振幅為0度，角速度相等，比率ω/ω0為1，振幅越大，精確的角速度變得越小，ω/ω0也下降，
綠線是從電腦測出的比例，藍線則是上述經驗公式計而得出的比例，兩者幾乎完全吻合。
振幅為60度時，小角度近似公式與實際對比與小角振幅近似公式的周期比較得來，為什麼是固定常數造成了一個振幅角度的簡單二次方函式，為什麼是這個數值。
圖的紅色和綠色是上述公式與計算機無限逼近的積分結果的疊和。顯示範圍在一個周期。全程範圍內誤差都至少小於0.001%（甚至可能完全精確）
和近似公式相比，大振幅的單擺運動和物理書的近似公式相比，只是擺動周期或者頻率發生了變化，其三角函式的性質完全相同。
右圖是上述經驗公式，與電腦模擬的實際擺動的疊和。也就是說，經過用振幅修正角速度後，兩者幾乎完全吻合
套用
當單擺周期T=2s時，由公式推導，擺長大約為1m，這種情況的單擺叫做秒擺。秒擺常見於擺鐘上。注意：在當前高中階段，一般研究擺角小於10°的情況（即近似看做簡諧運動），且高中階段教材中僅涉及在試驗中推測公式，不涉及單擺周期公式的推導（因為需要涉及到高等數學）。
