向量分析[數學概念]

向量分析是與向量函式有關的微積分運算及其套用。向量又可以看作一階張量，因此向量分析又是張量分析的特例。向量分析是數學的分支，關心擁有兩個維度或以上的向量的多元實分析，需要考慮到向量場時把向量聯繫到空間裡的每一個點，考慮到標量場時把標量連繫到空間裡的每一個點。它有一套方程式及難題處理技巧對物理學及工程學特別有幫助。

基本信息

• 中文名：向量分析
• 英文名：Vector analysis

• 屬於學科：數學
• 關鍵數據：梯度、散度、鏇度

運算因素

向量分析

向量分析主要是要談“梯度、散度與鏇度”這三個重要觀念，而對應的則是方嚮導數、散度定理、與Stokes定理，因此重心就在於如何理清線積分、曲面積分以及他們所代表的物理意義。

向量分析中3個重要的運算:

梯度:量度標量場改變的速度與方向；標量場的斜度是個向量。

鏇度:量度向量場傾向繞著一個點鏇轉的程度；向量的捲曲是個向量場。

散度(divergence):量度向量場傾向源於一點的程度。

Stokes'theorem

同源理論

運算套用

與向量函式有關的微積分運算及其套用。

向量函式的微分法　

設有一依賴於某變數t的向量函式（t在某一區間α≤t≤β上變化）。如果下面這極限存在，則稱

為A(t)在t處的導數。導數存在的充分必要條件是三個分量函式在t處都有導數,且恆有也可定義向量函式的微分：或即類似地可定義向量函式的高階導數與高階微分。

如向量函式依賴於多個自變數,例如A(u,v)，則也可定義偏導數以及全微分等等。

向量函式的積分法 A(t)在區間【α,β】上的積分定義為式中Δ為【α,β】的一分劃：,而τk為中任何一點。用分量寫法,則有當然要假定各分量的積分存在。

也可以定義重積分以及線積分、面積分等等。

總之，向量函式的微分法與積分法都可通過它的各分量的相應運算來實現。

設A(t)為一曲線C上動點的位置向量,t為流動參數，亦即，C有參數方程，則A┡(t)的方向就和曲線C在t處的切線方向相同。如果A(u,v)是一曲面S上動點的位置向量,而u,v為流動參數，則向量積的方向就和曲面S上(u,v)處的法線方向相同。用這些基本事實，可以來研究空間曲線、曲面的性質，也是微分幾何的出發點。

以上所述，也可推廣到高維的向量函式上去。向量又可以看作一階張量，因此向量分析又是張量分析的特例。