冪零矩陣

冪零矩陣

線上性代數中,對於n階方陣N,存在正整數k,使得N^k=0,這樣的方陣N就叫做冪零矩陣。滿足條件的最小的正整數k被稱為N的度數或指數。更一般來說,零權變換是向量空間的線性變換L,使得對於一些正整數k(並且因此,對於所有j≥k,Lj = 0),L^k= 0。 冪零矩陣是冪零元──一個更加一般的概念的特殊情況,不僅可以套用於矩陣和線性變換,也可以套用於環的元素。

簡介

冪零矩陣 冪零矩陣
冪零矩陣 冪零矩陣
冪零矩陣 冪零矩陣

線上性代數中,對於的方陣N,存在正整數k,使得,這樣的方陣N就叫做冪零矩陣。滿足條件的最小的正整數k被稱為N的度數或指數。更一般來說,零權變換是向量空間的線性變換L,使得對於一些正整數k(並且因此,對於所有j≥k,Lj = 0),。

冪零矩陣是冪零元──一個更加一般的概念的特殊情況,不僅可以套用於矩陣和線性變換,也可以套用於環的元素。

性質

對於具有真實(或複雜)元素的n×n個方陣N,以下是等價的:

(1)N是冪零矩陣。

冪零矩陣 冪零矩陣

(2)對於一些正整數k≤n,N的最小多項式為。

冪零矩陣 冪零矩陣

(3)N的特徵多項式為。

(4)N的唯一特徵值為0。

冪零矩陣 冪零矩陣

(5)對於所有k> 0,tr()= 0。

最後一個定理適用於特徵值為0或特徵值足夠大的矩陣。 (參考牛頓的證實)

這個定理有幾個結論,包括:

(1)n×n冪零矩陣的度數總是小於或等於n。

(2)冪零矩陣不是可逆矩陣的。

(3)唯一冪零且可對角化的矩陣是零矩陣。

(4)若M為實對稱矩陣,則M=0。

(5)非零的冪零矩陣A不能對角化。

冪零矩陣 冪零矩陣
冪零矩陣 冪零矩陣

(6)若A為n階冪零矩陣,則,均為冪零陣。

舉例

冪零矩陣 冪零矩陣
冪零矩陣 冪零矩陣

矩陣M=是冪零矩陣,因為。

冪零矩陣 冪零矩陣

更一般地說,主對角線均為0的任何三角矩陣均為冪零矩陣,指數。 例如,矩陣

冪零矩陣 冪零矩陣
冪零矩陣 冪零矩陣

是冪零矩陣,因為。

雖然上面的例子中的矩陣有大量的0元素,但是一個典型的冪零矩陣可能沒有0元素。 例如,矩陣

冪零矩陣 冪零矩陣

,儘管矩陣沒有零項,但是其冪次方為零矩陣,因此該矩陣為冪零矩陣。

分類

考慮n×n階移位矩陣:

冪零矩陣 冪零矩陣
冪零矩陣 冪零矩陣

該矩陣沿著超對角線有若干個元素1,其他地方均為元素0。 作為線性變換,移位矩陣將矢量的分量向左移動一個位置,零出現在最後位置:。

該矩陣是度為零,並且是“規範””的冪零矩陣。

具體地說,如果N是任何非零矩陣,則N與下面形式的分塊對角矩陣相似。

冪零矩陣 冪零矩陣

其中塊S1,S2,...,Sr中的每一個是移位矩陣(可能具有不同大小)。這種形式是規範冪零矩陣形式的特殊情況。

附加屬性

如果N是冪零矩陣,則I + N是可逆的,其中I是n×n個單位矩陣。 逆矩陣如下,

冪零矩陣 冪零矩陣

其中有限條件為總和是非零的。

冪零矩陣 冪零矩陣
冪零矩陣 冪零矩陣

如果N是冪零矩陣,,其中I表示n×n單位矩陣。 相反,如果存在矩陣A,若等式對於t的所有值均成立,則A是冪零矩陣。

每個奇異矩陣都可以寫成一個冪零矩陣的乘積。

冪零矩陣是收斂矩陣的一種特殊情況。

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