引入
在一元函式中，導數就是函式的變化率。對於二元函式研究它的“變化率”，由於自變數多了一個，情況就要複雜的多。
在 xOy 平面內，當動點由 P(x,y) 沿不同方向變化時，函式 f(x,y) 的變化快慢一般來說是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x,y) 點處沿不同方向的變化率。
在這裡我們只學習函式 f(x,y) 沿著 平行於 x 軸和 平行於 y 軸兩個特殊方位變動時， f(x,y) 的變化率。
偏導數的表示符號為:∂。
偏導數反映的是函式沿坐標軸正方向的變化率。
定義
x方向的偏導
設有二元函式 z=f(x,y) ，點(x,y)是其定義域D 內一點。把 y 固定在 y而讓 x 在 x 有增量 △x ，相應地函式 z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x+△x,y)-f(x,y)。
如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那么此極限值稱為函式 z=f(x,y) 在 (x,y)處對 x 的偏導數，記作 f'(x,y)或。函式 z=f(x,y) 在(x,y)處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y看成常數後，一元函式z=f(x,y)在 x處的導數。
y方向的偏導
同樣，把 x 固定在 x，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那么此極限稱為函式 z=(x,y) 在 (x,y)處對 y 的偏導數。記作f'(x,y)。
求法
當函式 z=f(x,y) 在 (x,y)的兩個偏導數 f'(x,y) 與 f'(x,y)都存在時，我們稱 f(x,y) 在 (x,y)處可導。如果函式 f(x,y) 在域 D 的每一點均可導，那么稱函式 f(x,y) 在域 D 可導。
此時，對應於域 D 的每一點 (x,y) ，必有一個對 x (對 y )的偏導數，因而在域 D 確定了一個新的二元函式，稱為 f(x,y) 對 x (對 y )的偏導函式。簡稱偏導數。
按偏導數的定義，將多元函式關於一個自變數求偏導數時，就將其餘的自變數看成常數，此時他的求導方法與一元函式導數的求法是一樣的。
幾何意義
表示固定面上一點的切線斜率。
偏導數 f'(x,y) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f'(x,y) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。
高階偏導數：如果二元函式 z=f(x,y) 的偏導數 f'(x,y) 與 f'(x,y) 仍然可導，那么這兩個偏導函式的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函式的二階偏導數有四個：f"，f"，f"，f"。
注意：
f"與f"的區別在於：前者是先對 x 求偏導，然後將所得的偏導函式再對 y 求偏導；後者是先對 y 求偏導再對 x 求偏導。當 f"xy 與 f"yx 都連續時，求導的結果與先後次序無關。
