定義
下調和函式
下調和函式
下調和函式定義一：設函式 在 上連續，則對 ，可以定義一個連續函式
下調和函式
下調和函式 下調和函式
下調和函式 下調和函式即函式 在 上連續，在球 B外部及邊界 上等於 ，在球 B內是 調和函式。
下調和函式 下調和函式 下調和函式定義二：設 在區域 上連續，如果對 ，有
下調和函式 下調和函式
下調和函式 下調和函式則稱 為 上的上調和函式，簡稱 上調和函式；如果對 ，有
下調和函式 下調和函式 下調和函式則稱 為 上的下調和函式，簡稱 下調和函式。
下調和函式
下調和函式 下調和函式 下調和函式定義三：設函式 在 上連續，如果 上的上調和函式 均滿足
下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式則稱 是 的一個 上函式；如果 上的下調和函式 均滿足
下調和函式 下調和函式 下調和函式則稱是的一個 下函式。
相關性質
性質1
下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式設函式 在 上連續，在 內是調和函式，則 既是上調和函式也是下調和函式。
性質2
下調和函式
下調和函式設 是上（或下）調和函式，則 是下（或上）調和函式。
性質3
下調和函式
下調和函式
下調和函式設 與 都是上（或下）調和函式，則 也是上（或下）調和函式。
性質4
下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式設 為 上的上（或下）調和函式，則除 恆等於常數外，它只能在邊界 上取到最小值（或最大值）。
利用上調和函式與下調和函式的定義，容易證明性質1到4。
性質5
下調和函式設 都是上調和函式，則函式
下調和函式也是上調和函式。
下調和函式
下調和函式證明：由 易知， 。
下調和函式
下調和函式
下調和函式另一方面，對 ,由 定義可知，對 ，有
下調和函式
下調和函式並對 ，有
下調和函式
下調和函式 下調和函式故由 ，並根據極值原理可知，對有
下調和函式 下調和函式
下調和函式綜上可知， ，且對 ，有
下調和函式 下調和函式 下調和函式即 為 上的上調和函式。
性質6
下調和函式 下調和函式 下調和函式設 為 上的上調和函式，則 也是上調和函式。
性質7
下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式設函式 在 的邊界 上連續，則 的任意一個上函式都不小 任意一個下函式。
下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式
下調和函式證明: 設是的任意一個上函式，是的任意一個下函式，則對，有
下調和函式
下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式
下調和函式並由性質2及性質3可知，是上的上調和函式，故由性質4可知，在上取最小值，即對，有
下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式從而在內，不小於。即對有
下調和函式性質8
下調和函式 下調和函式設 都是 的上函式，則函式
下調和函式 下調和函式也是的上函式。
性質9
下調和函式 下調和函式 下調和函式 下調和函式設 是 的上函式，則函式 也是 的上函式。
