內容介紹
本書系統地闡述了複變函數論、數學物理方程的各種解法、特殊函式以及計算機仿真編程實踐等內容，對培養思維能力和實踐編程能力具有指導意義。本書在取材的深度和廣度上充分考慮到前沿學科領域知識內容，形成了具有前沿學科特點的數學物理方法與計算機仿真相結合的系統化理論體系。本書結構層次清晰，理論具有系統性和完整性，重點立足於對思維能力的培養，加強計算機仿真能力的訓練，分別介紹了複變函數、數學物理方程和特殊函式的計算機仿真求解及其解的仿真圖形顯示。習題解答和仿真程式等可以通過網路下載。
本書可作為物理學、地球物理學、電子信息科學、光通信技術、空間科學、天文學、地質學、海洋科學、材料科學等學科領域的理工科大學本科教材，也可供相關專業的研究生、科技工作者作為參考資料並進行計算機仿真訓練。
作品目錄
目錄第一篇 複變函數論
第1章 複數與複變函數2
1.1 複數概念及其運算3
1.1.1 複數概念3
1.1.2 複數的基本代數運算4
1.2 複數的表示4
1.2.1 複數的幾何表示4
1.2.2 複數的三角表示5
1.2.3 複數的指數表示6
1.2.4 共軛複數6
1.2.5 復球面、無窮遠點7
1.3 複數的乘冪與方根8
1.3.1 複數的乘冪8
1.3.2 複數的方根9
1.3.3 實踐編程：正17邊形的幾何作圖法10
1.4 區域11
1.4.1 基本概念11
1.4.2 區域的判斷方法及實例分析13
1.5 複變函數14
1.5.1 複變函數概念14
1.5.2 複變函數的幾何意義———映射15
1.6 複變函數的極限16
1.6.1 複變函數極限概念16
1.6.2 複變函數極限的基本定理16
1.7 複變函數的連續17
1.7.1 複變函數連續的概念17
1.7.2 複變函數連續的基本定理18
1.8 典型綜合實例18
小結23
習題24
計算機仿真編程實踐25
第2章 解析函式27
2.1 複變函數導數與微分27
2.1.1 複變函數的導數27
2.1.2 複變函數的微分概念29
2.1.3 可導的必要條件29
2.1.4 可導的充分必要條件31
2.1.5 求導法則32
2.1.6 複變函數導數的幾何意義33
2.2 解析函式34
2.2.1 解析函式的概念34
2.2.2 解析函式的法則35
2.2.3 函式解析的充分必要條件35
2.2.4 解析函式的幾何意義（映射的保角性） 38
2.3 初等解析函式39
2.3.1 指數函式（單值函式） 39
2.3.2 對數函式———指數函式的反函式（多值函式） 40
2.3.3 三角函式（單值函式） 42
2.3.4 反三角函式（多值函式） 44
2.3.5 雙曲函式（單值函式） 44
2.3.6 反雙曲函式（多值函式） 45
2.3.7 整冪函式ｚｎ（單值函式） 46
2.3.8 一般冪函式與根式函式ｗ＝ｎ槡ｚ（多值函式） 46
2.3.9 多值函式的基本概念48
2.4 解析函式與調和函式的關係49
2.4.1 調和函式與共軛調和函式的概念49
2.4.2 解析函式與調和函式之間的關係50
2.4.3 解析函式的構建方法50
2.5 解析函式的物理意義———平面矢量場52
2.5.1 用解析函式表述平面矢量場52
2.5.2 靜電場的復勢52
2.6 典型綜合實例54
小結57
習題57
計算機仿真編程實踐58
第3章 複變函數的積分59
3.1 複變函數的積分59
3.1.1 複變函數積分的概念59
3.1.2 復積分存在的條件及計算方法60
3.1.3 復積分的基本性質60
3.1.4 復積分的計算典型實例61
3.1.5 複變函數環路積分的物理意義62
3.2 柯西積分定理及其套用63
3.2.1 柯西積分定理63
3.2.2 不定積分64
3.2.3 典型套用實例66
3.2.4 柯西積分定理（柯西?古薩定理）的物理意義66
3.3 基本定理的推廣———複合閉路定理67
3.4 柯西積分公式70
3.4.1 有界區域的單連通柯西積分公式70
3.4.2 有界區域的復連通柯西積分公式71
3.4.3 無界區域的柯西積分公式72
3.5 柯西積分公式的幾個重要推論74
3.5.1 解析函式的無限次可微性（高階導數公式） 74
3.5.2 解析函式的平均值公式76
3.5.3 柯西不等式76
3.5.4 劉維爾定理76
3.5.5 莫勒納定理77
3.5.6 最大模原理77
3.5.7 代數基本定理77
3.6 典型綜合實例78
小結82
習題84
計算機仿真編程實踐85
第4章 解析函式的冪級數表示86
4.1 複數項級數的基本概念86
4.1.1 複數項級數概念86
4.1.2 複數項級數的判斷準則和定理86
4.2 複變函數項級數88
4.3 冪級數90
4.3.1 冪級數概念90
4.3.2 收斂圓與收斂半徑91
4.3.3 收斂半徑的求法92
4.4 解析函式的泰勒級數展開式94
4.4.1 泰勒級數95
4.4.2 將函式展開成泰勒級數的方法96
4.5 羅朗級數及展開方法97
4.5.1 羅朗級數97
4.5.2 羅朗級數展開方法實例99
4.5.3 用級數展開法計算閉合環路積分101
4.6 典型綜合實例102
小結105
習題107
計算機仿真編程實踐108
第5章 留數定理109
5.1 解析函式的孤立奇點109
5.1.1 孤立奇點概念109
5.1.2 孤立奇點的分類及其判斷定理109
5.2 解析函式在無窮遠點的性質113
5.3 留數概念114
5.4 留數定理與留數和定理116
5.5 留數的計算方法117
5.5.1 有限遠點留數的計算方法117
5.5.2 無窮遠點的留數計算方法119
5.6 用留數定理計算實積分120
5.6.1 ∫2π0 Ｒ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）ｄθ型積分121
5.6.2 ∫＋∞－∞Ｐ（ｘ） Ｑ（ｘ）ｄｘ型積分122
5.6.3 ∫＋∞－∞ ｆ（ｘ）ｅｉａｘｄｘ（ａ＞0）型積分124
5.6.4 其他類型（積分路徑上有奇點）的積分計算舉例126
5.7 典型綜合實例128
小結131
習題133
計算機仿真編程實踐134
第6章 保角映射135
6.1 保角映射的概念135
6.2 分式線性映射136
6.2.1 分式線性映射的概念136
6.2.2 兩種基本映射137
6.2.3 分式線性映射的性質138
6.2.4 分式線性映射的確定及套用139
6.2.5 三類典型的分式線性映射142
6.3 幾個初等函式所構成的映射145
6.3.1 冪函式映射145
6.3.2 指數函式ｗ＝ｅｚ映射146
6.3.3 儒可夫斯基函式映射147
6.4 典型綜合實例148
小結150
習題152
計算機仿真編程實踐153
第一篇複變函數論全篇總結框圖153
第一篇綜合測試題15
第7章 數學建模———數學物理定解問題156
7.1 數學建模———波動方程類型的建立158
7.1.1 波動方程的建立158
7.1.2 波動方程的定解條件164
7.2 數學建模———熱傳導方程類型的建立165
7.2.1 數學物理方程———熱傳導類型方程的建立165
7.2.2 熱傳導（或擴散）方程的定解條件168
7.3 數學建模———穩定場方程類型的建立169
7.3.1 穩定場方程類型的建立169
7.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件170
7.4 數學物理定解理論171
7.4.1 定解條件和定解問題的提法171
7.4.2 數學物理定解問題的適定性172
7.4.3 數學物理定解問題的求解方法172
7.5 典型綜合實例172
小結175
習題175
計算機仿真編程實踐176
第8章 二階線性偏微分方程的分類177
8.1 基本概念177
8.2 數學物理方程的分類178
8.3 二階線性偏微分方程標準化181
8.4 二階線性常係數偏微分方程的進一步化簡183
8.5 線性偏微分方程解的特徵185
8.6 典型綜合實例185
小結186
習題187
計算機仿真編程實踐187
第9章 行波法與達朗貝爾公式188
9.1 二階線性偏微分方程的通解188
9.2 二階線性偏微分方程的行波解189
9．3 達朗貝爾公式190
9.3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式190
9.3.2 達朗貝爾公式的物理意義191
9.4 達朗貝爾公式的套用191
9.4.1 齊次偏微分方程求解191
9.4.2 非齊次偏微分方程的求解194
9.5 定解問題的適定性驗證195
9.6 典型綜合實例196
小結198
習題199
計算機仿真編程實踐200
第10章 分離變數法201
10.1 分離變數理論201
10.1.1 偏微分方程變數分離及條件201
10.1.2 邊界條件可實施變數分離的條件202
10.2 直角坐標系下的分離變數法202
10.2.1 分離變數法介紹202
10.2.2 解的物理意義205
10.2.3 三維形式的直角坐標分離變數206
10.2.4 直角坐標系分離變數例題分析207
10．3 二維極坐標系下拉普拉斯方程的分離變數法210
10.4 球坐標系下的分離變數法213
10.4.1 拉普拉斯方程Δｕ＝0的分離變數（與時間無關） 213
10.4.2 與時間有關的方程的分離變數215
10.4.3 亥姆霍茲方程的分離變數216
10.5 柱坐標系下的分離變數216
10.5.1 與時間無關的拉普拉斯方程分離變數216
10.5.2 與時間相關的方程的分離變數218
10.6 非齊次二階線性偏微分方程的解法219
10.6.1 泊松方程非齊次方程的特解法219
10.6.2 非齊次偏微分方程的傅立葉級數解法221
10.7 非齊次邊界條件的處理222
10.8 典型綜合實例224
小結228
習題230
計算機仿真編程實踐232
第11章 冪級數解法———本徵值問題233
11.1 二階常微分方程的冪級數解法233
11.1.1 冪級數解法理論概述233
