上極限

上極限是指收斂子數列的極限值的上確界值。

定義

上極限

對一序列 ，令

上極限

上極限

上極限

（二者必定存在，且 ）分別稱為當n→∞時，x的上極限與下極限。關於其他極限過程的上、下極限可類似定義。

數列上極限

上極限

給定無窮數列 ，它的一切收斂子數列的極限值的上確界值，稱為該無窮序列的上極限。

上極限

上極限

或定義為 。因為 是遞減的，所以討論其極限值是有意義的。

集合上極限

上極限

上極限

上極限

給定無窮集合列 ， 稱為無窮集合列的上極限集，含義為屬於無窮個 的元素組成的集合。

運算性質

在同一極限過程中下列式子成立：

上極限

上極限

上極限

上極限

上極限

若u存在，則上面的不等式成為等式。

比較性質

上極限

若 ，則

上極限

上極限

若 ，a，b是常數，則

上極限

與極限的關係

上極限

lim u存在，則

上極限

lim u=l，則