數學術語
【讀音】yīcìhánshù
【解釋】函式的基本概念：一般地，在一個變化過程中，有兩個變數X和Y，並且對於x每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說X是自變數，y是x的函式。表示為y＝Kx＋b（其中b為任意常數,k不等於0），當b＝0時稱y為x的正比例函式，正比例函式是一次函式中的特殊情況。可表示為y=kx。
基本定義
變數：變化的量
常量：不變的量
一次函式自變數x和X的一次函式y有如下關係：
y=kx+b（k為任意不為零常數，b為任意常數）
當x取一個值時，y有且只有一個值與x對應。如果有2個及以上個值與x對應時，就不是函式。
x為自變數，y為因變數，k為常量，y是x的一次函式。
特別的，當b=0時，y是x的正比例函式。即：y=kx（k為常量，但K≠0）正比例函式圖像經過原點。
定義域：自變數的取值範圍，自變數的取值應使函式有意義；要與實際相符合。
自變數x和因變數y有如下關係：
y=kx+b （k為任意不為零常數，b為任意常數）
則此時稱y是x的一次函式。
特別的，當b=0時，y是x的正比例函式。即：y=kx （k為任意不為零常數）
定義域：自變數的取值範圍，自變數的取值應使函式有意義；要與實際相符合。
當x一定的時候只有一個y與x相對應。
相關性質
函式性質
一次函式1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b（k不等於0，且k，b為常數）
2.當x=0時，b為函式在y軸上的截距,圖像與y軸的交點坐標為(0,b).
3.k為一次函式y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ為一次函式圖象與x軸正方向夾角,Θ≠90°)
4.當b=0時，一次函式圖像變為正比例函式，正比例函式是特殊的一次函式.
圖像性質
當k相同，且b不相等，圖像平行；當k不同，且b相等，圖像相交；當k互為負倒數時，兩直線垂直；當k，b都相同時，兩條直線重合。
當兩直線中的k相同，b也相同時，兩直線重合
當兩直線中的k相同，b不相同時，兩直線平行
當兩直線中的k不相同，b不相同時，兩直線相交
兩直線中的k不相同，b相同時，兩直線交於y軸上的同一點（0，b）
1．作法與圖形：通過如下３個步驟
（1）列表[根據自變數的取值範圍,選取一定量的自變數的值,計算出其對應的函式值]；
（2）描點；[將列表中的一組對應的值,轉化成坐標,取自變數的值為橫坐標,函式值為縱坐標,進而根據坐標在平面直角坐標系裡描出其對應的點]
（3）連線[將描出的點用恰當的線連線起來.
由於一次函式的圖像是一條直線。因此，作一次函式的圖像只需知道２點，描兩個點並連成直線即可。（通常找函式圖像與x軸和y軸的交點）
2．性質：（1）在一次函式上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函式與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交於（-b/k，0）正比例函式的圖像都是過原點。
3．函式不是數，它是指某一變化過程中兩個變數之間的關係。
4．k，b與函式圖像所在象限：
y=kx+b時：
當 k>0,b>0, 這時此函式的圖象經過一，二，三象限。
當 k>0,b<0, 這時此函式的圖象經過一，三，四象限。
當 k<0,b>0, 這時此函式的圖象經過一，二，四象限。
當 k<0,b<0, 這時此函式的圖象經過二，三，四象限。
當b＞0時，直線必通過一、二象限；
當b＜0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=0時，即y=kx，y與x成正.比直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函式的圖像。
這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當k＜0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。
4、特殊位置關係
當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函式解析式中K值（即一次項係數）相等
當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函式解析式中K值互為負倒數（即兩個K值的乘積為-1）
確定一次函式的表達式
已知點A（X1，y1）；B（X2，y2），請確定過點A、B的一次函式的表達式。
（1）設一次函式的表達式（也叫解析式） 為y=kx+b。
（2）因為在一次函式上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b ……① 和 y2=kx2+b ……②
（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最後得到了一次函式的表達式。
相關套用
生活中的套用
一次函式1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函式。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。
3.當彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物後的長度y是重物重量x的一次函式，即y=kx+b（k為任意正數）
一次函式套用的生活中的各個方面,上述只是舉了幾個例子而已.但必有著重注意的是,一次函式在生活中套用時,要注意自變數的取值要求,必須與生活實際相符合.。
數學問題
一、確定字母係數的取值範圍
例1：已知正比例函式，則當k<0時，y隨x的增大而減小。
解：根據正比例函式的定義和性質，得且m<0，即且，所以。
二、比較x值或y值的大小
例2.已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函式y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關係是（）
A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.無法確定
解：根據題意，知k=3>0，且y1>y2。根據一次函式的性質“當k>0時，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。
三、判斷函式圖象的位置
例3.一次函式y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函式的圖象不經過（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函式y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限。故選A.
典型例題
例1.一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體後會伸長，伸長的長度與所掛物體的質量成正比例.如果掛上3kg物體後，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質量x(kg)之間的函式關係式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變數x的取值範圍.
分析：此題由物理的定性問題轉化為數學的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負載後伸長的長度之和，而自變數的取值範圍則可由最大總長→最大伸長→最大質量及實際的思路來處理.
解：由題意設所求函式為y=kx+12
則13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函式解析式為y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自變數x的取值範圍是0≤x≤22
例2：某學校需刻錄一些電腦光碟，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學校自刻，除租用刻錄機120元外，每張還需成本4元，問這些光碟是到電腦公司刻錄，還是學校自己刻費用較省？
此題要考慮X的範圍
解:設總費用為Y元，刻錄X張
電腦公司：Y1=8X
學校：Y2=4X+120
當X=30時，Y1=Y2
當X>30時，Y1>Y2
當X<30時，Y1<Y2
【考點指要】
一次函式一次函式的定義、圖象和性質在中考說明中是C級知識點，特別是根據問題中的條件求函式解析式和用待定係數法求函式解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函式、二次函式及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現在中考題中，大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法.
例3：如果一次函式y=kx+b中x的取值範圍是-2≤x≤6，相應的函式值的範圍是-11≤y≤9.求此函式的的解析式。
解：
（1）若k＞0，則可以列方程組：
-2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5b=-6，則此時的函式關係式為y=2.5x—6
（2）若k＜0，則可以列方程組
-2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5b=4，則此時的函式解析式為y=-2.5x+4
【考點指要】
此題主要考察了學生對函式性質的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。
平面直角坐標系其他公式：
1.坐標平面內的點與有序實數一一對應。
2.一三象限角平分線上的點橫縱坐標相等。
3.二四象限角平分線上的點橫縱坐標互為相反數。
4.一點上下平移，橫坐標不變，即平行於y軸的直線上的點橫坐標相同。
5.y軸上的點，橫坐標為0.
6.x軸上的點，縱坐標為0.
7.坐標軸上的點不屬於任何象限。
常用公式
一次函式1.求函式圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （註：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
5.求兩個一次函式式圖像交點坐標：解兩函式式
兩個一次函式 y1=K1X+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標
6.求任意2點所連線段的中點坐標：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2點的連線的一次函式解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0)
x y
+ + 在一象限
+ - 在四象限
- + 在二象限
- - 在三象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
10.
y=k（x+n）+b就是向左平移n個單位
y=k（x-n）+b就是向右平移n個單位
口訣：左加右減（只對於改變x）
y=kx+b+n就是向上平移n個單位
y=kx+b-n就是向下平移n個單位
口訣：上加下減（只對於改變b）
解析式的幾種類型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函式b=0）
③y-y1=k(x-x1)[點斜式]
（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點式]
（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）
解析式表達局限性：
①所需條件較多（3個）；
②、③不能表達沒有斜率的直線（平行於x軸的直線）；
④參數較多，計算過於煩瑣；
⑤不能表達平行於坐標軸的直線和過圓點的直線。
傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角。設一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)
其它相關
一次函式方法小結：
把方程組中的兩個二元一次方程改寫成一次函式的形式,然後作出它們的圖像,找出兩圖像的交點,即可知方程組的解。
區別和聯繫
區別：
二元一次方程有兩個未知數，而一次函式只是說未知數的次數為一次，並未限定幾個變數，因此二元一次方程只是一次函式中的一種。
（1）在平面直角坐標系中分別描繪出以二元一次方程的解為坐標的點，這些點都在相應的一次函式的圖象上。如方程2x+y=5有無數組值，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以這些解為坐標的點(1,3)，(2,1)…都在一次函式y=-2x+5的圖象上。
（2）在一次函式圖象上任取一點，它的坐標都適合相應的二元一次方程。如在一次函式y=-x+2的圖象上任取一點(3,-1)，則x=3，y=-1一定是二元一次方程x+y=2的一組解。[3]
函式的由來
“函式”一詞最初是由德國的數學家萊布尼茨在17世紀首先採用的，當時萊布尼茨用“函式”這一詞來表示變數x的冪，即x2，x3，….接下來萊布尼茨又將“函式”這一詞用來表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點有關的變數.就這樣“函式”這詞逐漸盛行.
在中國，古時候的人將“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，清代數學家、天文學家、翻譯家和教育家，近代科學的先驅者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函式.”中國的古代人還用“天、地、人、物”4個字來表示4個不同的未知數或變數，顯然，在李善蘭的這個定義中的含義就是“凡是公式中含有變數x，則該式子叫做x的函式.”這樣，在中國“函式”是指公式里含有變數的意思.
瑞士數學家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函式定義.1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了函式了如下的函式定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函式.換句話說，由x和常量所構成的任一式子都可稱之為關於x的函式.
1775年，歐拉把函式定義為：“如果某些變數：以某一種方式依賴於另一些變數.即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函式.”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函式概念，都還是和解析表達式、曲線表達式等概念糾纏在一起。
首屈一指的法國數學家柯西引入了新的函式定義：“在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其它變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為‘自變數’，其它各變數則稱為‘函式’”.在柯西的定義中，首先出現了“自變數”一詞.
1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函式的定義：“x的函式是這樣的一個數，它對於每一個x都有確定的值，並且隨著x一起變化.函式值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函式的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的”.這個定義指出了對應關係。即條件的必要性，利用這個關係以求出每一個x的對應值.
1837年德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關係是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對於x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函式.”
德國數學家黎曼引入了函式的新定義：“對於x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函式.”
上面函式概念的演變，我們可以知道，函式的定義必須抓住函式的本質屬性，變數y稱為x的函式，只須有一個法則存在，使得這個函式取值範圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.
由此，就有了我們課本上的函式的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變數x與y，並且對於x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變數，y是x的函式。
