齊次微分方程

齊次微分方程

齊次微分方程(homogeneous differential equation)是指能化為可分離變數方程的一類微分方程,它的標準形式是 y'=f(y/x),其中 f 是已知的連續方程。求解齊次微分方程的關鍵是作變換 u=y/x ,即 y=ux ,它可以把方程轉換為關於 u 與 x 的可分離變數的方程,此時有 y'=u+xu',代入原方程即可得可分離變數的方程 u+xu'=f(u) ,分離變數並積分即可得到結果,需要注意的是,最後應把 u=y/x 代入,並作必要的變形。

基本信息

定義

齊次微分方程 齊次微分方程

形如 的一階微分方程稱為齊次微分方程,簡稱微分方程。

方程特點

齊次微分方程 齊次微分方程

齊次微分方程的特點是其右端項是以為變元的連續函式。

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例如, 是齊次微分方程,它可以轉化為:,即。

方程的解

齊次微分方程通過變數代換,可化為可分離變數微分方程來求解。

齊次微分方程 齊次微分方程
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令或,

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其中是新的未知函式,對兩邊求導,則有:,

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將其代入,得:,

齊次微分方程 齊次微分方程

分離變數,得:

齊次微分方程 齊次微分方程

兩邊積分,得:,

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求出積分後,再將回代,便得到方程的通解。

求解步驟

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(1)作變換,將齊次方程轉化為分離變數的微分方程;

(2)求解可分離變數的微分方程;

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(3)用代替步驟(2)中所求通解中的(即變數還原),就可以得到原方程的通解。

注意事項

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如果有,使得,則顯然也是方程的解,從而也是方程的解;如果,則方程變成,這是一個可分離變數微分方程。

典例

例1

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求解方程。

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齊次微分方程 齊次微分方程

解:令,則,,

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原方程變為:,即;

齊次微分方程 齊次微分方程

分離變數可得:,

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左右兩端同時積分可得:,

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將 代入,便可得到原方程的通解為:,其中 C 為任意常數。

例2

齊次微分方程 齊次微分方程

求方程的通解。

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齊次微分方程 齊次微分方程

解:令,則,,

齊次微分方程 齊次微分方程
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原方程變為:,即;

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分離變數可得:,

齊次微分方程 齊次微分方程

左右兩端同時積分可得:,

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將 代入,便可得到原方程的通解為:,其中 C 為任意常數。

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