點線面[數學常識]

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點、線、面是幾何學裡的概念,是平面空間的基本元素。

基本信息

哲學含義

點的哲學含義:

點就是宇宙的起源,沒有任何體積,被擠在宇宙的“邊緣”;

點是所有圖形的基礎。

線的哲學含義:

線就是由無數個點連線而成的。

面的哲學含義:

面就是由無數條線組成的。

幾何含義

在幾何學、拓撲學以及數學的相關分支中,一個空間中的點用於描述給定空間中一種特別的對象,在空間中有類似於體積,面積,長度, 或其他高維類似物。一個點是一個零維度對象,點作為最簡單的幾何概念, 通常作為幾何、 物理、矢量圖形和其他領域中的最基本的組成部分。點成線,線成面,點是幾何中最基本的組成部分。在通常的意義下,點被看作零維對象,線被看作一維對象,面被看作二維對象。點動成線,線動成面。

平面空間的基本元素 ——點、線、面

依賴於對藝術單個的精神考察,這種元素分析是通向作品內在律動的橋樑。”——瓦西里·康定斯基(Wassily Kandinsky)《點、線、面》(中國社會科學出版社)

構成點、線、面 構成點、線、面

任何一門藝術都含有它自身的語言,而造型藝術語言的構成,其形態元素主要是:點、線、面、體、色彩及肌理等,首先,我們先認識一下點、線、面。

1、 認識點

點,《 辭海》的解釋是:細小的痕跡。在幾何學上,點只有位置,而在形態學中,點還具有大小、形狀、色彩、肌理等造型元素。在自然界,海邊的沙石是點,落在玻璃窗上的雨滴是點,夜幕中滿天星星是點,空氣中的塵埃也是點。

2、 點的表情

具體為形象的點,可用各種工具表現出現,不同形態的點呈現出不同的視覺特效,隨著其面積的增大,點的感覺也將會減弱。如我們在高空中俯視街道上的行人,便有“點”的感覺,而當我們回到地面,“點”的感覺也就消失了。

在畫面空間中,一方麵點具有很強的向心性,能形成視覺的焦點和畫面的中心,顯示了點的積極的一面;另一方麵點也能使畫面空間呈現出渙散、雜亂的狀態,顯示了點的消極性,這也是點在具體運用時值得注意的問題。

點還具有顯性與隱性的特徵,隱性點存在於兩線的相交處、線的頂端或末端等處。

3、 點的構成

(1)、 有序的點的構成:這裡主要指點的形狀與面積、位置或方向等諸因素,以規律化的形式排列構成,或相同的重複,或有序的漸變等。點往往通過疏與密的排列而形成空間中圖形的表現需要,同時,豐富而有序的點構成,也會產生層次細膩的空間感,形成三次元。在構成中,點與點形成了整體的關係,其排列都與整體的空間相結合,於是,點的視覺趨向線與面,這是點的理性化構成方式。

(2)、 自由的點的構成:這裡主要指點的形狀與面積、位置或方向等諸因素,以自由化、非規律性的形式排列構成,這種構成往往會呈現出豐富的、平面的、渙散的視覺效果。如果以此表現空間中的局部,則能發揮其長處,比如象徵天空中的繁星或作為圖形底紋層次的裝飾。

4 、點與線的關係

點動成線。

1、認識線

線是點運動的軌跡,又是面運動的起點。在幾何學中,線只具有位置和長度,而在形態學中,線還具有寬度、形狀、色彩、肌理等造型元素。畫家克利在包浩斯授課期間,曾這樣給線下了定義:線就是運動中的點。更為重要的是他把線形象地分成三種基本類型:積極的線、消極的線和中性的線,積極地線自由自在,不斷移動,無論有沒有一個特定的目的地;一旦有哪條線臨摹出了一個連貫一致的圖形,它就變成了中性的線;如果再把這個圖形塗上顏色,那么這條線就又變成了消極的線,因為此時已經由色彩充任了積極地因素。(見弗蘭克·惠特福德《包浩斯》)

從線性上講,線具有整齊端正的幾何線,還具有徒手畫的自由線。物象本身並不存線上,面的轉折形成了線,形式由線來界定的,也就是我們說的輪廓線,它是藝術家對物質的一種概括性的形式表現。

通常我們把線劃分為如下兩大類別:

1、 直線:平行線、垂線(垂直線)、斜線、折線、虛線、鋸齒線等。直線在《辭海》釋意為:一點在平面上或空間上或空間中沿一定(含反向)方向運動,所形成的軌跡是直線,通過亮兩點只能引出一條直線。

2、 曲線:弧線、拋物線、雙曲線、圓、波紋線(波浪線)、蛇形線等。曲線在《辭海》釋意為:在平面上或空間中因一定條件而變動方向的點軌跡。

3、線的表情

由於線本身具有很強的概括性和表現性,線條作為造型藝術的最基本語言,被一直關注。中國畫中有“十八描”的種種線形變化,還有“骨法用筆”、“筆斷氣連”等等線形的韻味追求。學習繪畫總是從線開始著手的,如速寫、勾勒草圖,大多用的是線的形式。在造型中,線起到至關重要的作用,它不僅是決定物象的形態的輪廓線,而且還可以刻畫和表現物體的內部結構,比如,線可以勾勒花紋肌理,甚至可以說,物象的表情也可以通過線來傳達。

威廉·賀加斯在《 美的分析》一書中這樣寫道:直線只是在長度有所不同,因而最少裝飾性。直線與曲線結合,成為複合的線條,比單純的曲線更多樣,因而也更有裝飾性。波紋線,就是由於由兩種對立的曲線組成,變化更多,所以更有裝飾性,更為悅目,賀加斯稱之為“美的線條”。蛇形線,由於能同時以不同的方式起伏和迂迴,會以令人愉快的方式使人的注意力隨著它的連續變化而移動,所以被稱為“優雅的線條”。賀加斯還談道,在用鋼筆或鉛筆在紙上畫曲線時,手的動作都是優美的。

曲直濃淡多變的線是造型藝術強有力的表現手段,它是形象和畫面空間中最具表情和活力的構成要素,也是古今中外藝術家一直鍾愛的視覺表現元素。我們美學家楊辛在談到我們新石器時代的半山彩陶時寫道:“它的圖案裝飾是線,由單一的線發生出各種不同的線,如粗線、細線、齒狀線、波狀線、紅線、黑線等等,運用反覆、交錯的方法,把許多有規律的線組合在一起,使人感到協調,好像用線條譜成‘無聲的交響樂’”。(參加楊辛、甘霖(《美學原理》)

4、線與面的關係

線動可能成線、曲面、平面。

5、線的狀態

相交;平行;異面。

1、認識面

擴大的點形成了面,一根封閉的線造成了面。密集的點和線同樣也能形成面。在形態學中,面同樣具有大小、形狀、色彩、肌理等造型元素,同時面又是“形象”的呈現,因此面即是“形”。

2、認識面的種類通常可劃分為下述四大種類

(1)、 幾何形:也可稱無機形,是用數學的構成方式,由直線或曲線,或直曲線相結合形成的面。如特殊長方形、正方形、一般長方形、三角形、梯形、菱形、圓形、五角形等,具有數理性的簡潔、明快、冷靜和秩序感,被廣泛地運用在建築、實用器物等造型設計中。

(2)、 有機形:是一種不可用數學方法求得的有機體的形態,富有自然發展,亦具有秩序感和規律性,具有生命的韻律和純樸的視覺特徵。如自然界的鵝卵石、楓樹葉和生物細胞、瓜果外形,以及人的眼睛外形等都是有機形。

(3)、 偶然性:是指自然或人為偶然形成的形態,其結果無法被控制,如隨意潑灑、滴落的墨跡或水跡,樹葉上的蟲眼,無意間撕破的碎紙片等,具有一種不可重複的意外性和生動感。

(4)、 不規則性:是指人為創造的自由構成形,可隨意地運用各種自由的、徒手的線性構成形態,具有很強的造型特徵和鮮明的個性。

3、面的表情

面的表情呈現於不同的形態類型中,在二維的範圍中,面的表情總是最豐富的,畫面往往隨面(形象)的形狀、虛實、大小、位置、色彩、肌理等變化而形成複雜的造型世界,它是造型風格的具體體現。

在“面”中最具代表性的“直面”與“曲面”所呈現的表情:直面(一切由直線所形成的面)具有穩重、剛毅的男性化特徵、其特徵程度隨其諸因素的加強而加強。曲面(一切由曲線所形成的面)具有動態、柔和的女性化特徵,其特徵程度隨其諸因素的變化而加強(或減弱)。

4、面的構成

面的構成即形態的構成,也是平面構成中重點需要學習和掌握的,它涉及基本型、骨骼等概念,我們將在後面的章節中一一探討論述。這裡我們先討論一下平面空間中的面與面之間的構成關係,當兩個或兩個以上的面在平面空間(我們的畫面)中同時出現時,其間便會出現多樣的構成關係。

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面與面之間的關係概括如下:(1)、 分離:面與面之間分開,保持一定的距離,在平面空間中呈現各自的形態,在這裡空間與面形成了相互制約的關係。

(2)、 相遇:也稱相切,指面與面的輪廓線相切,並由此而形成新的形狀,使平面空間中的形象變得豐富而複雜。

(3)、 覆疊:一個面覆蓋在另一個面之上,從而在空間中形成了面之間的前後或上下的層次感。

(4)、 透疊:面與面相互交錯重疊,重疊的形狀具有透明性,透過上面的形可視下一層被覆蓋的部分,面之間的重疊處出現了新的形狀,從而使形象變得豐富多變,富有秩序感,是構成中很好的形象處理方式。

(5)、 差疊:面與面相互交疊,交疊而發生的新形象被強調出來,在平面空間中可呈現產生的新形象,也可讓三個形象並存。

(6)、 相融:也稱聯合,指面與面相互交錯重疊,在同一平面層次上,使面與面相互結合,組成面積較大的新形象,它會使空間中的形象變得整體而含糊。

(7)、 減缺:一個面的一部分被另一個面所覆蓋,兩形相減,保留了覆蓋在上面的形狀,又出現了被覆後的另一個形象留下的剩餘形象,一個意料之外的新形象。

(8)、 重疊:相同的兩個面,一個覆蓋在另一個之上,形成合二為一的完全重合的形象,其造成的形象特殊表現,使其在形象構成上已不具有意義。

三者關係

1、點最重要的功能在於表明位置和進行聚焦,點與面是比較而形成的,同樣一個點,如果布滿整個或大面積的平面,它就是面了,如果在一個平面中多次出現,就可以理解為點;

2、點與點之間連線形成線,或者點沿著一定方面規律性的延伸可以成為線,線強調方向和外形;

3、平面上三個以上點的連線可以形成面,同時,平面上線的封閉或者線的展開也可以形成面,面強調形狀和面積;

以上3點可以概括總結點、線與面之間的微妙關係。

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