電磁規律的協變形式

電磁規律的協變形式

正文

狹義相對論指出，對於一切慣性參照系，物理規律都是相同的，而且不同慣性系之間的變換關係是洛倫茲變換。因此，所有描述基本物理規律的方程式，都應該在洛倫茲變換下保持不變。這種不變性就稱為洛倫茲不變性。
為了顯示一個或一組物理方程的洛倫茲不變性，通常將它表示成這樣的形式，使得方程中各項在洛倫茲變換下都具有確定的,並且彼此相同的變換性質。這樣,當從一個慣性參照系變換到另一個慣性參照系時，就能得到相同的方程式。具有上述形式的方程就稱為協變形式的方程。
電磁量的洛倫茲變換　洛倫茲變換是一個四維變換，因此在洛倫茲變換下的矢量常稱為四維矢量或簡記作4-矢量。例如三維空間的坐標(x1，x2，x3)配上時刻t就合成一個4－矢量(x0，x1，x2，x3)，其中x0=сt,с為真空中光速。此矢量稱為四維時空坐標xμ(μ＝0,1,2,3)。在電磁量（本條採用高斯單位制）中，通常的三維電流密度（j1，j2，j3）同電荷密度 ρ 配成一個四維矢量(j0,j1,j2,j3)，其中j0=ρс。這個矢量就稱為四維電流密度 jμ。洛倫茲規範下的電磁矢量勢(A1,A2,A3)和標量勢嗞也配成一個 4-矢量(A0,A1,A2,A3),其中A0=嗞，稱為四維電磁勢Aμ。當兩個慣性參照系s和s′的空間坐標軸取得彼此平行而且s′沿x軸方向以速度v相對s運動時（並取t=t′=0為兩參照系坐標原點相重合的時刻）兩者時空坐標間的變換關係為：

(1)

此即時空坐標的洛倫茲變換。根據矢量的變換性質,s和s┡中電流密度和電磁勢也具有類似的變換關係：

(2)

由此可以得出,如果在s參照系中有一靜止的均勻導體迴路，其內j10而ρ＝0,則在s′參照系中將觀測到ρ′0（見圖）。如從s′參照系觀測，圖中AB段就將帶負電，而CD段將帶正電。上述電荷的出現可用洛倫茲收縮來說明。與此相應，在s參照系中嗞＝0,只有A；而在s′參照系中嗞 ┡和A′都將不為零。

電磁規律的協變形式

在洛倫茲變換下,電場強度E和磁感應強度B合起來按一個二階張量來變換，此張量用矩陣表示為：

它的分量記作Fμv（μ、v從0到3），並稱為電磁場場強張量。在上述兩個慣性參照系s和s′中的場強值，有如下的關係：

E'1=E1， B'1=B1，
(3)

當略去的小項時，上式可寫作

。 (4)

v代表在s系中所觀測的s′系的速度。這樣，若在s系中只有電場或只有磁場，則在s′系中將同時有電場和磁場存在。以上結果表明了電場同磁場之間深刻的內在聯繫，實際上它們是統一的電磁場場強張量的不同分量。
電磁場的能量密度u和能流密度(S1,S2,S3)以及動量密度(g1,g2,g3)和動量流密度φij(i,j取1到3)合起成一個二階張量

此張量稱為電磁場的能量-動量張量，並用Tμv表示。
電磁規律的協變形式　麥克斯韋方程組中的兩個方程

, (5)

可以合起來用

(6)

表示，其中

v=0代表式(5)的第一式，v=1，2，3代表式(5)的第二式。代表張量Fμυ的四維散度，它是一個四維矢量。這樣式(6)左右兩方都是四維矢量，符合協變要求。
麥克斯韋方程組中的另外兩個方程

(7)

可以合起來用

(8)

表示。注意，前者代表

這是因為洛淪茲變換不是正交變換，故對於矢量和張量還必須區別為逆變和共變兩類。前面所說的xμ、jμ、 Aμ和這裡的微分算符都是逆變矢量，而微分算符則為共變矢量。式 (8)中每一項都代表一個三階的逆變張量，故該式是協變的。
這裡， 對於指標(μ,v,σ)為完全反對稱的,故式(8)實際上只包含四個獨立的方程，它們的(μ，v，σ)可取為(1，2，3),(2，3，0),(3，0，1)和(0，1，2)。當(μ，v，σ)取(1，2，3)時，式(8)相應於 墷·B＝0，而當(μ，v，σ)取(2，3，0),(3，0，1)和(0，1，2)時，式(8)相應於

。

電荷守恆定律

, (9)

其協變形式為

, (10)

即四維電流密度的四維散度為零。而洛倫茲規範下矢量勢和標量勢的方程

(11)

其協變形式即為：

(12)

式中，
在洛倫茲變換下,三維力密度(f1,f2,f3)和功率密度w亦配成四維矢量(f0,f1,f2,f3)，其中,並稱為四維力密度，用fμ表示。這時，洛倫茲力公式：

, (13)

和功率公式

ω＝E·E。 (14)

可以合起來寫成

, (15)

其中jv表示(ρс，-j1,-j2,-j3)為一共變矢量。式(15)在μ=0時化為式(14)，而在μ=1，2，3時化為式(13)。式(15)兩側都是逆變矢量，因而方程是協變的。能量和動量守恆定律

, (16)

如前所述s為能流密度；Φ為動量流密度，系張量；g為動量密度,，可以合起來寫成下述協變形式的方程：

。 (17)

以上結果還顯示了電磁場能量和動量之間密切的內在聯繫。
也可採用與以上不同的另一種數學描述，即不引入x0＝сt，而引入一個虛數x4＝iсt來構成四維時空矢量(x1,x2,x3,x4)，在這種描述下，洛倫茲變換形式上為一個正交變換，於是就不必區分共變和逆變兩類矢量和張量，從而在數學上得到了簡化。

配圖

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