軌道空間

軌道空間(orbit space)是一類特殊的商空間，若G是拓撲群，X是拓撲空間，G中每一元素g誘導一個從X到自身的同胚映射，x↦g(x)，其中x∈X，對於任意g，h∈G，滿足h°g(x)=h[g(x)]，對於群G中單位元e滿足e(x)=x，並且由(g，x)↦g(x)定義的G×X到X的映射是連續映射，則稱G為X的拓撲變換群。對於X中的點x，稱子集O(x)={g(x)|g∈G}為通過點x的軌道，所有軌道的集合{O(x)|x∈X}構成X的一個分解(實際上，X中兩點x，y屬於同一軌道這一關係是一等價關係)。由這個分解得出的商空間記為X/G，稱為軌道空間。例如，取拓撲群Z為具有離散拓撲的整數加群，R為實數空間，對於每一個n∈Z取從R到自身的同胚為平移，x↦x+n，這時得到的軌道空間R/Z是圓周S。

定義

定義1 一個群G稱為拓撲群，如果它同時也是一個Hausdorff空間，並且G上的乘法運算與求逆運算

軌道空間

都是連續的。

定義2 如果G和H是兩個拓撲群，設G×H表示兩個群的直積，帶上積拓撲，則G×H也是一個拓撲群 。

定義3 設G是一個拓撲群，稱G如同一個同胚群而作用於拓撲空間X，是指G的每個元素g都誘導一個同胚 ，並且滿足下列條件：

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(1) ；

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(2) 若 為單位元，則e誘導恆同同胚，即 ；

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(3) 映射 連續。

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若G如同一個同胚群而作用於拓撲空間X，則對於每個 ，集合 稱為x的 軌道，記為 。很顯然，對於任意兩個點 ，要么 ，要么 。因此所有的軌道實際上給出了空間X的一個劃分，由此可以確定一個商空間(即把每個軌道粘合成一個點的粘合空間)，稱為該作用的 軌道空間，記為 。

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如果對於任意兩個點 ，都存在一個 使得 ，則稱G在拓撲空間X的作用是 可遷的，顯然，此時 ，因此 是單點空間 。

舉例分析

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例1 (1)考慮無限循環群 在 上的如下作用：

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容易驗證，其軌道空間 。

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(2) 設n≥2，考慮正交群 ，線上性代數中我們已經知道，每個 都確定了 中的一個線性變換 ，這個線性變換保持歐氏度量。特別地，把單位向量映射為單位向量。因此每個 誘導了 的一個自同胚。並且容易看出，映射

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是連續的。因此， 如同一個同胚群作用於球面 上。由Schmidt正交化方法不難看出，這個作用還是可遷的，因此軌道空間 只有一個點。

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(3) 考慮群 在平面 上的作用： ，定義一個同胚

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容易驗證，上述對應確實給出了 在平面 上的一個作用。由(1)可知，其軌道空間是兩個圓周的積空間。而且不難看出，平面上每個邊長為1的正方形都包含了每個軌道中的點，並且正方形的對邊在軌道空間中顯然被同向地粘合在了一起，因此又有 。

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(4)考慮剩餘類群 在n-維球面 上的作用：不妨記 ，其中0為單位元，而1為生成元。定義兩個同胚；

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就是恆等同胚， 就是對徑映射，也是同胚。則不難驗證，上述定義給出了 在n-維球面 上的一個作用，其軌道空間正是粘合 的對徑點而得到的n-維射影平面 。

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(5) 設p，q是兩個互質的整數，把3-維球面 看做2-維復空間內的單位球面，即

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設 的生成元為 ，定義 在 上的作用如下：

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(幾次複合)．

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則不難驗證，這確實給出了一個群作用，其軌道空問稱為 透鏡空間，記為 。

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定理 如G一個同胚群而作用於單連通空間X，並且對於每個點 ，都存在 使得 ，則 。

利用這個定理，我們也可以得到下面幾個結論

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例2 由於 及 都是單連通的，因此由例1可知 ，

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