一般方法
很類似除法, 以求200的開平方為例14. 1 4 2…… {以小數點為界, 每隔2位寫一位得數, 注意加小數點}
√2`00. {以小數點為界, 每隔2位做一個標記（其實做不做沒所謂）}
1 1{算出不大於最右一組數的開平方的最大整數,寫在標記左上方,
即 Int( sqrt(最右一組數) ),並把這個整數的平方寫下1}
100 {計算它們的差, 在右邊添兩個零}
24 96 {將剛才求得的一位數乘以20（即1*20）然後, 算出不大於差的x(20+x),
的x的最大整數 4 }
400 {計算它們的差, 在右邊添兩個零}
281 281 {將求得的數乘以20（即14*20）然後, 算出不大於差的x(280+x),
的x的最大整數 1 }
11900 {計算它們的差, 在右邊添兩個零}
2824 11296 {同上, 算出不大於差的x(141*20+x),的x的最大整數 4}
60400
28282 56564
3826
……
級數展開
1. 由代數式的變換Sqrt(x)=a/b * 1/Sqrt[1-(xb2-a2)/(xb2)]
而1/sqrt(1-y) = 1+(1/2)y+(1*3)/(2*4)y2+(1*3*5)/(2*4*6)y3+…
a/b是Sqrt(x)的近似值.
例如Sqrt(2)≈239/169 , a=239,b=169 ,得
Sqrt(2) = (239/169)*1/Sqrt(1-1/57122)
2. 開N (正整數 次方)(x是被開方數)
(x)1/n=a/b * 1/[1-(xbn-an)/(xbn)]1/n
而1/(1-y)1/n = 1 + (1/n)y + (1*(n+1))/(n*2n)y2+ (1*(1+n)*(1+2n))/(n*2n*3n)y3+...
它的時間複雜度是 O(n2).
牛頓疊代法 (它是目前最快的算法, ∴這是同時是最重要的方法)
先求出1/sqrt(A)的近似值並賦給X, 反覆運算下式
hn=1-Axn2
xn+1=xn+xn*hn/2
直到得到想要的精度(每算一次上式, 可比前次多差不多一倍的精度)
{也可以用X←X+X[4(1-AX2)+3(1-AX2)2]/8, 算一次, 可比前次多差不多2倍的精度}
最後X←AX 就得到Sqrt(A)
反覆算的過程有許多地方可以最佳化:
While X<>0 do begin
Mul(X,X,Tmp);
Mul(Tmp,A,Tmp); {每次只取比X多一倍位數的A}
Tmp ← 1-Tmp; {for i=1 to size do tmp<-999…- tmp}
Mul(Tmp,X,Tmp);
Mul(Tmp,0.5,Tmp);{乘以0.5 比除以2快}
Add(X,Tmp,X); {X的前(size-1)部分幾乎不用考慮}
End;
2.開N (正整數 次方)(A是被開方數)
X≈Exp(-Ln(A)/n); {X約等於A開N次方的倒數}
While X精度不夠do
X ← X+X(1-AXn)/n;{算一次, 可比前次多差不多一倍的精度}
X←A*Xn-1 {得到A開N次方}
