倒數[數學學科術語]

倒數（reciprocal / multiplicative inverse）讀（dào shù），是指數學上設一個數x與其相乘的積為1的數，記為1/x，過程為“乘法逆”，除了0以外的數都存在倒數， 分子和分母相倒並且兩個乘積是1的數互為倒數，0沒有倒數。

基本信息

• 中文名：倒數
• 英文名：reciprocal/multiplicative inverse

• 別稱：乘法逆元
• 表示：1/x
• 舉例：4/3的倒數是3/4

實數的倒數

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1.求一個分數的倒數，例如 ，我們只須把 這個分數的分子和分母交換位置，即得 的倒數為 ；

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2.求一個整數的倒數，只須把這個整數看成是分母為1的分數，然後再按求分數倒數的方法即可得到。如12，即 ，再把 這個分數的分子和分母交換位置，把分子做分母，分母做分子，則有，即12倒數是 ；

3.說明:倒數是本身的數是1和-1，正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，0沒有倒數；

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4.把0.25化成分數，即 ，再把 這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子.則是 ，再把 化成整數，即4.所以0.25是4的倒數。也可以說4是0.25的倒數.也可以用1去除以這個數，例如0.25，1/0.25等於4，所以0.25的倒數4；

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5.求 倒數的 約分問題。在求倒數過程中，可約分的要約分，如，約分以後成，最後將其分子分母調換位置，得到，即為的倒數；

因此 乘積是1的兩個數 互為倒數。

圖1.倒數的單位元投影演示

　

數論倒數

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而在數論中，還有數論倒數的概念，如果兩個數a和b，它們的乘積關於模m餘1，那么我們稱它們互為關於模m的數論倒數。比如 ，所以3是2關於5的數論倒數.數論倒數在中國剩餘定理中非常重要。而輾轉相除法提供了計算數論倒數的方法。

群論中倒數

近世代數中有群，域，環等概念，其中定義了抽象的乘法運算和單位元.同樣的，關於其乘法如果有乘法逆，同樣可以看成是倒數。

特點

倒數的特點：一個正實數（1除外）加上它的倒數 一定大於2。

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理由： , 為倒數當 時 一定大於1，可寫為 因為 ，又因為 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以一個正實數加上它的倒數一定大於2。

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當 時也一樣。

同理可證，一個負實數（-1除外）加上它的倒數一定小於-2。

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求證：a，b均為非1正實數，且a不等於b，和互為倒數，。

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證明：因為，，所以，又因為a，b均為非1正實數，且a不等於b，所以，，所以，所以，即。

解題

在四則混合運算中，有時會用到倒數來解題，正規解起來很麻煩。

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例如：計算

第一種方法：

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解：原式的倒數=

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=

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=

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=

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=.

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所以，原式=.

第二種方法：

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解：=

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=

它的倒數為

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= 因為此處0不可以作為除數，顧用乘法代替。

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=

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=

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所以，原式=.

負倒數

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乘積為-1的兩個實數互為負倒數，實數x的負倒數記為或。一個實數的倒數和其負倒數是相反數，0沒有倒數或負倒數。