矩陣分解

矩陣分解

矩陣分解 (decomposition, factorization)是將矩陣拆解為數個矩陣的乘積,可分為三角分解、滿秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD(奇異值)分解等,常見的有三種:1)三角分解法 (Triangular Factorization),2)QR 分解法 (QR Factorization),3)奇異值分解法 (Singular Value Decomposition)。

三角分解法

三角分解法是將原正方 (square) 矩陣分解成一個上三角形矩陣或是排列(permuted) 的上三角形矩陣和一個 下三角形矩陣,這樣的分解法又稱為LU分解法。它的用途主要在簡化一個大矩陣的行列式值的計算過程,求逆矩陣,和求解聯立方程組。不過要注意這種分解法所得到的上下三角形矩陣並非唯一,還可找到數個不同 的一對上下三角形矩陣,此兩三角形矩陣相乘也會得到原矩陣。

MATLAB以lu函式來執行lu分解法, 其語法為[L,U]=lu(A)。

QR分解法

QR分解法是將矩陣分解成一個正規正交矩陣與上三角形矩陣,所以稱為QR分解法,與此正規正交矩陣的通用符號Q有關。

MATLAB以qr函式來執行QR分解法, 其語法為[Q,R]=qr(A)。

奇異值分解法

奇異值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一種正交矩陣分解法;SVD是最可靠的分解法,但是它比QR 分解法要花上近十倍的計算時間。[U,S,V]=svd(A),其中U和V分別代表兩個正交矩陣,而S代表一對角矩陣。 和QR分解法相同, 原矩陣A不必為正方矩陣。使用SVD分解法的用途是解最小平方誤差法和數據壓縮。

MATLAB以svd函式來執行svd分解法, 其語法為[S,V,D]=svd(A)。

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