相交數

映射度亦稱布勞威爾度或拓撲度。對一類連續映射的一種刻畫。對n維球面S到自身的每一連續映射聯繫一個整數。 設X,Y為拓撲空間,若存在連續映射f:X→Y和g:Y→X,使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射,則稱f為同倫等價,g為f的同倫逆,而將X與Y稱為具有相同的倫型,或簡稱同倫的,記作X≃Y。 相交數是重要的同倫不變數。映射度在更一般情形的推廣。

概念

相交數 相交數

相交數是重要的同倫不變數。映射度在更一般情形的推廣。設M與N分別是m維與n維的緊緻有向(無邊)微分流形,n>m,A是N的(n-m)維閉有向子流形,f:M→N是C映射,fA,對於p∈f(A),當線性同構:

TMTN→TN/TA

相交數 相交數
相交數 相交數

保持定向時,記為#(f,A)=1;否則記為#(f,A)=-1,則#(f,A)=∑#(f,A)∈Z(因為f(A)在M中余維為m),稱為映射f對於子流形A的相交數。類似於映射度情形,得到:若f,g:M→N是光滑同倫映射,fA,gA,則:

#(f,A)=#(g,A)

由此可將相交數定義推廣到一般連續映射的情形。相交數有直觀的幾何背景,設M,MN都是N的有向(無邊)緊緻子流形,

dim N=dim M+dim M,

相交數 相交數

MM(即處於一般位置),i:M→N為包含映射,則#(i,M)實際上是M∩M中點的“代數”個數(按定向,每一點賦予適當的符號),稱為(M,M)的相交數,記為#(M,M)或#(M,M;N)。從而:

#(M,M)=(-1)dimMdimM1#(M,M)

注意,當M,N或A不是可定向流形時,可類似於模2映射度而定義模2相交數#(f,A)。

映射

亦稱函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係,G的定義域D(G)為X,且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x,y),則稱G為從X到Y的映射.即關係G為映射時,應滿足下列兩個條件:

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y,通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足:

1) f(x)∈Y.

2) G(x,f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y,G(x,z)→z=f(x).

關係G常使用另一些記號:f:X→Y或XY.f與G的關係是y=f(x)(x∈X),若且唯若G(x,y)成立.可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f).終集Y稱為映射的陪域,記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域,記為R(f)或ran(f).當y=f(x)時,y稱為x的象,而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示.對於AX,所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象.記為f(A)。對於BY,所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然:f(A)=f(x),f(B)=f(y)。

映射度

亦稱布勞威爾度或拓撲度。對一類連續映射的一種刻畫。對n維球面S到自身的每一連續映射聯繫一個整數。設f:S→S(n≥1)是連續映射,(K,φ)是S的一個剖分,同調群H(S)Z,這裡Z表示整數加群,以[z]記同調群H(K)的生成元,若:

f~=φ°f°φ: |K|→|K|,

則有整數m使得f~的誘導同態f~([z])=m[z],這個m稱為f的布勞威爾度,記為deg f.映射度deg f與S的剖分(K,φ)和H(K)的生成元的選取無關.根據誘導同態的性質,可得到下述結論:若f,g:S→S都是連續映射,則:

1.若fg,則deg f=deg g.

2.deg(f°g)=deg f°deg g.

3.對於S上的恆同映射1,有deg 1=1,對於常值映射c:S→S,有deg c=0.

根據以上性質,可以定義對應

deg: [S,S]→Z,

使得對於f所屬同倫類[f]規定

deg([f])=deg f.

根據霍普夫(Hopf,H.)的度數定理,deg是一一對應。它表明S到自身的連續映射從同倫觀點看由其映射度惟一決定.映射度理論套用廣泛,如研究球面上向量場以及博蘇克-烏拉姆定理等。關於映射度還可推廣到能定向閉假流形以及其他領域中去。討論n維球面S到自身連續映射的同倫類構成的集合[S,S],是映射的同倫分類問題中最基本的內容,並且很多幾何問題的解決都有賴於對這個集合性質的了解。研究這個集合結構的一種方法,就是對每個連續映射f:S→S聯繫一個整數,即所謂映射度,它是由布勞威爾(Brouwer,L.E.J.)首先提出的。

同倫

設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射,若存在連續映射H:X×I→Y使得:

H(x,0)=f(x)

H(x,1)=gx∈X

則稱f與g同倫,記為f≃g:X→Y或f≃g,映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h},h連續地依賴於t且h=f,h=g,即當參數t從0變到1時,映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X,Y]表示X到Y的一切連續映射之集,則同倫關係≃是C[X,Y]上等價關係,每個等價類稱為一個同倫類,同倫類的全體所成集記為[X,Y]。設Y是R的子空間,f,g:X→Y是連續映射,若對每個x∈X,點f(x)與g(x)可由Y中線段連結,則f≃g:X→Y,若Y是R中凸集,任何映射f:X→Y都零倫,即[X,Y]僅含一個元素。設X,Y與Z均為拓撲空間,若f≃f:X→Y,g≃g: Y→Z,則gf≃gf: X→Z。

設X,Y為拓撲空間,若存在連續映射f:X→Y和g:Y→X,使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射,則稱f為同倫等價,g為f的同倫逆,而將X與Y稱為具有相同的倫型,或簡稱同倫的,記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的,或者存在x∈X,使得常值映射C:X→X。x→x與映射id同倫,空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條:(1)id≃0,即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y,映射f:X→Y,有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g:Z→X,g≃0。

設A是空間X的子空間,i:A→X表包含映射,若存在連續映射r:X→A,使得r|=id(或r·i=id),則r稱為X到A的保核收縮,A稱為X的收縮核。若有保核收縮r:X→A滿足i·rid:X→X,則H稱為X到A的形變收縮,A稱為X的形變收縮核,若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x,t)=x,則H稱為X到A的一個強形變收縮,A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮,且若A是X的形變收縮核,則內射i:A→X是同倫等價。

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