環繞數

環繞數

在數學中,環繞數(linking number)是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變數。直觀上,環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數,但有可能取正數或負數,取決於這兩條曲線的定向。 環繞數由高斯以環繞積分的形式引入。它在紐結理論、代數拓撲和微分幾何的研究中是重要的對象,並在數學和科學中有許多套用,包括量子力學、電磁學以及 DNA超螺旋的研究。

定義

空間中任何兩條閉曲線都恰好可以移動成如下標準位置之一。這決定了環繞數:

環繞數 環繞數

每條曲線在移動過程中可以穿過自身,但這兩條曲線保持互相分離。

計算環繞數

存在一個算法計算出一個鏈環圖表的環繞數。

正交叉數總數減去負交叉數總數等於環繞數的兩倍,即

環繞數 環繞數

環繞數

環繞數 環繞數
環繞數 環繞數

這裡 n, n, n, n分別表示四類交叉數的個數。兩個和 與總相等。這樣得到了如下另外的公式

環繞數 環繞數

環繞數

環繞數 環繞數
環繞數 環繞數

注意到只涉及到藍曲線被紅曲線下交叉,而只涉及到上交叉。

性質與例子

懷特黑德鏈環兩條曲線環繞數為零。

•任何兩條沒有連結起來的曲線相交數為零。但環繞數為零的兩條曲線仍可能是連結起來的(例如右圖的懷特黑德鏈環(Whitehead link))。

•逆轉任何一條曲線的定向,環繞數改變符號;但兩條曲線同時逆轉定向,環繞數不變。

•環繞數具有手征性:取一個鏈環的鏡像,環繞數改變符號。我們對正環繞數的約定基於右手法則。

•x-y平面上一條定向曲線的卷繞數等於它與z-軸(將z-軸想像為三維球面中一條閉曲線)的環繞數。

•更一般地,如果其中一條曲線是簡單的,則這個分支的第一同調群同構於整數Z。在此情形,環繞數由另一條曲線的同調類決定。

•在物理學中,環繞數是拓撲量子數之一例,它與量子糾纏有關。

積分定義

環繞數 環繞數
環繞數 環繞數

給定兩條不交可微曲線,定義從環面到單位球面 高斯映射

環繞數 環繞數
環繞數 環繞數
環繞數 環繞數

取單位球面上一點 v,從而鏈環的正交投影到垂直於 v的平面給出一個鏈環圖表。觀察到點 ( s, t) 在高斯映射下映為 v對應於鏈環圖表中一個交叉,這裡在上。並且 ( s, t) 的一個鄰域在高斯映射下映為 v的一個鄰域,保持或逆轉定向取決於交叉的符號。從而為了計算這個對應於 v的鏈環圖表的環繞數,只需數高斯映射覆蓋 v的帶符號次數。由於 v是一個正則值,這恰是高斯映射的度數(即 Γ 的像蓋住球面的帶符號次數)。環繞數的同痕不變性自動由度數在同倫下不變得到。任何其它正則值將得到相同的數,所以環繞數與任何特定的鏈環圖表無關。

曲線 γ與 γ的環繞數的這種表述給出了用二重線積分表示的一個明確公式,即 高斯環繞積分

環繞數 環繞數

環繞數

這個積分求出了高斯映射像的全部帶符號面積(被積函式是 Γ 的雅可比矩陣),然後除以球面的面積(等於 4π)。

推廣

•就像三維中環繞的閉曲線,任何兩個維數為m與n的閉流形,可能在m+n+1 維歐幾里得空間中環繞起來。任何這樣鏈環有一個相伴的高斯映射,其度數是環繞數的推廣。

•任何標架紐結(framed knot)有一個自環繞數,得自計算紐結C與將曲線C中的點沿著標架向量稍微移動得到一條新曲線的環繞數。由鉛直移動(沿著黑板標架)得到的自環繞數稱為考夫曼自環繞數(Kauffman's self-linking number)。

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