橢圓型偏微分方程[一類重要的偏微分方程]

橢圓型偏微分方程，簡稱橢圓型方程，一類重要的偏微分方程。早在1900年D.希爾伯特提的著名的23個問題中，就有三個問題是關於橢圓型方程與變分法的。八十多年來，橢圓型方程的研究獲得了豐碩的成果。橢圓型方程在流體力學、彈性力學、電磁學、幾何學和變分法中都有套用。拉普拉斯方程是橢圓型方程最典型的特例。

基本信息

定義

橢圓型偏微分方程是偏微分方程的一個類型，簡稱橢圓型方程。這類方程主要用來描述物理只能的平衡穩定狀態，如定常狀態下的電磁場、引力場和反應擴散現象等。

橢圓型方程是由方程中主部的係數來界定的。對兩個自變數的二階線性或半線性方程

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在不等式 成立的區域內，就稱方程是橢圓型的。

此時，可以通過自變數的非奇異變換將方程化為標準型

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對於高階線性方程，設階線性偏微分運算元為

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其中，。該偏微分運算元的主部是

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若對 及任意非零向量 都有，則稱方程 在點 是橢圓型的。如果中是線性橢圓型方程。

種類

線性

線性橢圓型方程的典型代表是拉普拉斯方程（也叫調和方程）

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其中，，這個運算元叫拉普拉斯運算元 (Laplace operator)，也叫調和運算元。

可以說，調和方程是最基本，同時也是最重要的線性橢圓型方程。

非線性

對於非線性方程，也可以定義橢圓型方程。

例如，考慮二階實係數擬線性方程

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其中，。如果對任意非零向量， 及，有

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就稱方程是中的擬線性橢圓型方程。類似地，可以定義高階擬線性橢圓型方程。