定理
整數帶餘除法定理
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法設，這裡設 ，且 ，存在唯一的整數對 ，使 ，其中 。這個定理稱為整數帶餘除法定理，是初等數論的基礎。
證明：
易得b<0時，與b>0時證明類似，此處為了簡明，僅證明b>0的情況。
【存在性】
帶餘除法令 （[x]表示不超過x的最大整數）
帶餘除法∵
帶餘除法∴
帶餘除法∴
帶餘除法此時，令
帶餘除法則 存在，證畢。
【唯一性】
帶餘除法
帶餘除法設 是滿足 的另一對整數，因為
帶餘除法，
於是
帶餘除法故
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法由於 及 都是小於 的非負整數，所以
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法因為 ，則 ， ，故 ，假設不成立
帶餘除法∴
唯一性證畢
多項式帶餘除法定理
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法 帶餘除法任意非零多項式 除 ，其商式餘式一定存在，且餘式是惟一滿足關係式 的零多項式，或次數小於 的一個多項式。
多項式除以多項式
多項式除以多項式一般用豎式進行演算
（1）把被除式、除式按某個字母作降冪排列，並把所缺的項用零補齊；
（2）用被除式的第一項除以除式的第一項，得商式的第一項；
（3）用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），消去相等項，把不相等的項結合起來；
（4）把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續演算，直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止。被除式=除式×商式+餘式。如果一個多項式除以另一個多項式，餘式為零，就說這個多項式能被另一個多項式整除
帶餘除法例如：計算
解：
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法所以，， 其中，商式是，餘式是
套用
輾轉相除法求最大公因式
帶餘除法 帶餘除法
帶餘除法顧名思義，輾轉相除法就是反覆進行帶餘除法。它以帶餘除法為基礎，是用以求兩個多項式 、 的最大公因式 的一種計算方法。
帶餘除法
帶餘除法它的理論依據是：若 ，則有
帶餘除法 帶餘除法 帶餘除法 帶餘除法
帶餘除法例如，對於任意的整數 （ ），且 ，求 的最大公約數
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法， ， ，
帶餘除法餘數定理
帶餘除法 帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法用一次多項式 去除多項式 ，即 ，其中
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法 帶餘除法
帶餘除法例：一個多項式 ，當它能被 除時餘式為 3 ，被 除時餘式為 ，則當 被 除時餘式為何?
解：依題意，有：
帶餘除法(1)
帶餘除法(2)
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法把 代入(1) 式中， ，得
帶餘除法
帶餘除法 帶餘除法
帶餘除法把餘數定理逆過來用，當用 去除 時，由於 ，有 (3)
帶餘除法將(3)代入(1)中，
帶餘除法 帶餘除法
帶餘除法即 被 除餘式為
整除性問題
帶餘除法理論依據 是：
帶餘除法
帶餘除法例：用帶餘除法求當 為何值時，
解：作帶餘除法。
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法除 的餘式
帶餘除法
帶餘除法
帶餘除法故 且 ，解得：
