對稱正定矩陣

定義

對稱正定矩陣，顧名思義，就是對稱的正定矩陣，它與正定矩陣的區別就是具有對稱性，是正定矩陣中的一種特殊情況，在計算方法疊代法，直接法中常被用到。

性質

若n階矩陣A為對稱正定矩陣，則有：det(A)>0，A^T=A，且A的順序主子式det Ak>0，k=1,2,...,n（註：此處及以下的‘k’均為下標）

套用

對稱正定矩陣A可進行LU分解（或稱Doolittle分解）和Cholesky分解。

LU分解

若A為一n階對稱正定矩陣，則有：

A=LU

對稱正定矩陣

其中L為一單位下三角形矩陣（即主對角線元素皆為1），U為上三角形矩陣。且對於A，L，U的任意k階主子式

，

，

，有：

對稱正定矩陣

=

，k=1,2,...,n

Cholesky分解

若A為一n階對稱正定矩陣，則存在一非奇異下三角形實矩陣L，使得：

對稱正定矩陣

A=

其中L的主對角線元素皆為正，且該分解式是惟一的。