共軛矩陣

共軛矩陣

共軛矩陣又稱Hermite陣、埃爾米特矩陣。Hermite陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的共軛相等。Hermite陣主對角線上的元素必須是實數。對於只包含實數元素的矩陣(實矩陣),如果它是對稱陣,即所有元素關於主對角線對稱,那么它也是Hermite陣。也就是說,實對稱陣是Hermite陣的特例。

概述

埃爾米特矩陣(或自共軛矩陣)是相對其主對角線以復共軛方式對稱, 即是

共軛矩陣表達式共軛矩陣表達式

對於

共軛矩陣共軛矩陣

有:

共軛矩陣共軛矩陣

為共軛算符。

記做:

共軛矩陣共軛矩陣

例如:

共軛矩陣共軛矩陣

就是一個Hermite陣。

顯然,Hermite陣主對角線上的元素必須是實數。對於只包含實數元素的矩陣(實矩陣),如果它是對稱陣,即所有元素關於主對角線對稱,那么它也是Hermite陣。也就是說,實對稱陣是Hermite陣的特例。

性質

若A 和B 是Hermite陣,那么它們的和A+B 也是Hermite陣;而只有在A 和B滿足交換性(即AB = BA)時,它們的積才是Hermite陣。

可逆的Hermite陣A 的逆矩陣A-1仍然是Hermite陣。

如果A是Hermite陣,對於正整數n,An是Hermite陣.

共軛矩陣共軛矩陣

方陣C 與其共軛轉置的和

是Hermite陣.

共軛矩陣共軛矩陣

方陣C 與其共軛轉置的差

是skew-Hermite陣。

任意方陣C 都可以用一個Hermite陣A 與一個skew-Hermite陣B的和表示:

共軛矩陣共軛矩陣

Hermite陣是正規陣,因此Hermite陣可被酉對角化,而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著Hermite陣的特徵值都是實的,而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交,因此可以在這些特徵向量中找出一組Cn的正交基。

n階Hermite方陣的元素構成維數為n2的實向量空間,因為主對角線上的元素有一個自由度,而主對角線之上的元素有兩個自由度。

如果Hermite陣的特徵值都是正數,那么這個矩陣是正定陣,若它們是非負的,則這個矩陣是半正定陣。

共軛矩陣滿足下述運算規律(設A,B為復矩陣,λ為複數,且運算都是可行的);

(1)右側圖中第一行

(2)右側圖中第二行

(3)右側圖中第三行

共軛矩陣共軛矩陣
共軛矩陣共軛矩陣
共軛矩陣共軛矩陣

Hermite序列

Hermite序列(抑或Hermite向量)指滿足下列條件的序列ak(其中k = 0, 1, …, n):

共軛矩陣共軛矩陣

若n 是偶數,則an/2是實數。

實數序列的離散傅立葉變換是Hermite序列。反之,一個Hermite序列的逆離散傅立葉變換是實序列。

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