多項式除法

多項式除法

多項式除法是除法的一種類型,俗稱長除。適用於整式除法、小數除法、多項式除法(即因式分解)等較重視計算過程和商數的除法,過程中兼用了乘法和減法。是代數中的一種算法,用一個同次或低次的多項式去除另一個多項式。是常見算數技巧長除法的一個推廣版本。它可以很容易地手算,因為它將一個相對複雜的除法問題分解成更小的一些問題。

基本信息

一般步驟

多項式除法示例多項式除法示例
多項式除以多項式的一般步驟:
多項式除以多項式一般用豎式進行演算
(1)把被除式、除式按某個字母作降冪排列,並把所缺的項用零補齊.
(2)用被除式的第一項去除除式的第一項,得商式的第一項.
(3)用商式的第一項去乘除式,把積寫在被除式下面(同類項對齊),消去相等項,把不相等的項結合起來.
(4)把減得的差當作新的被除式,再按照上面的方法繼續演算,直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止.被除式=除式×商式+餘式。

舉例

計算
把被除式、除式按某個字母作降冪排列,並把所缺的項用零補齊,寫成以下這種形式:
然後商和餘數可以這樣計算
將分子的第一項除以分母的最高次項(即次數最高的項,此處為x)。結果寫在橫線之上(x3÷x=x2).
將分母乘以剛得到結果(最終商的第一項),乘積寫在分子前兩項之下(同類項對齊)(x2·(x−3)=x3−3x2).
從分子的相應項中減去剛得到的乘積(消去相等項,把不相等的項結合起來),結果寫在下面。((x3−12x2)−(x3−3x2)=−12x2+3x2=−9x2)然後,將分子的下一項“拿下來”。
把減得的差當作新的被除式,重複前三步(直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止.被除式=除式×商式+餘式)
重複第四步。這次沒什麼可以“拿下來”了。
橫線之上的多項式即為商,而剩下的(−123)就是餘數
算數的長除法可以看做以上算法的一個特殊情形,即所有x被替換為10的情形。

整除

如果一個多項式除以另一個多項式,餘式為零,就說這個多項式能被另一個多項式整除。

套用

多項式的因式分解

有時某個多項式的一或多個根已知,可能是使用有理根定理(Rationalroottheorem)得到的。如果一個次多項式的一個根已知,那么可以使用多項式長除法因式分解為的形式,其中是一個次的多項式。簡單來說,就是長除法的商,而又知是的一個根、餘式必定為零。
相似地,如果不止一個根是已知的,比如已知和這兩個,那么可以先從中除掉線性因子得到,再從中除掉,以此類推。或者可以一次性地除掉二次因子
使用這種方法,有時超過四次的多項式的所有根都可以求得,雖然這並不總是可能的。例如,如果有理根定理(Rationalroottheorem)可以用來求得一個五次方程的一個(比例)根,它就可以被除掉以得到一個四次商式;然後使用四次方程求根的顯式公式求得剩餘的根。

尋找多項式的切線

多項式長除法可以用來在給定點上查找給定多項式的切線方程。如果R(x)是P(x)/(x-r)2的餘式——也即,除以x2-2rx+r2——那么在x=r處P(x)的切線方程是y=R(x),不論r是否是P(x)的根。

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