表述
卡諾定理是卡諾1824年提出來的，其表述如下：
⑴在相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間工作的一切可逆熱機，其效率都相等，與工作物質無關，與可逆循環的種類也無關。
⑵在相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間工作的一切不可逆熱機，其效率都小於可逆熱機的效率。
卡諾介紹
原理解釋
設在兩個熱源之間，有可逆機R（即卡諾機）和任意的熱機I在工作（圖2.2）。調節兩個熱機使所作的功相等。可逆機及從高溫熱源吸熱Ql，作功W，放熱（Ql-W）到低溫熱源，其熱機效率為 ηk = W/QI（圖中所示是可逆機R倒開的結果）。
另一任意熱機I，從高溫熱源吸熱Q1’，作功W，放熱（Q1’-W）到低溫熱源，其效率為
ηI = W/Q1’
先假設熱機I的效率大於可逆機R（這個假設是否合理，要從根據這個假定所得的結論是否合理來檢驗）。即
ηI > ηk，
因此得
Ql > Q1’
今若以熱機I帶動卡諾可逆機R，使R逆向轉動，卡諾機成為制冷機，所需的功W由熱機I供給，如圖2.2所示：及從低溫熱源吸熱（Ql-W），並放熱Ql到高溫熱源。整個複合機循環一周后，在兩機中工作的物質均恢復原態，最後除熱源有熱量交換外，無其它變化。
從低溫熱源吸熱：
（Ql - W) - (Q1’ - W) = Ql-Q1’ > 0
高溫熱源得到的熱：
Ql-Q1’
淨的結果是熱從低溫傳到高溫而沒有發生其它的變化。這違反熱力學第二定律的克勞修斯說法。所以最初的假設ηI>；ηk不能成立。因此應有
ηI≤ηk (2.1)
這就證明了卡諾定理。
根據卡諾定理，可以得到如下的推論：“所有工作於同溫熱源與同溫冷源間的可逆機，其熱機效率都相等”。可證明如下：假設兩個可逆機Rl和R2，在同溫熱源與同溫冷源間工作。若以Rl帶動Rl，使其逆轉，則由式（2.1）知
ηR1≤ηR2 (2.2)
反之，若以R2帶動Rl，使其逆轉，則有
ηR1≥ηR2 (2.3)
因此，若要同時滿足式（2.2）和（2.3），則應有
ηR1=ηR2 (2.4)
由此得知，不論參與卡諾循環的工作物質是什麼，只要是可逆機，在兩個溫度相同的低溫熱源和高溫熱源之間工作時，熱機效率都相等，即任意熱機I是可逆機時，式（2.1）用等號，I是不可逆機時用不等號。在上述證明中，並不涉及工作物質的本性，因而與工作物質的本性無關。在明確了ηR與工作物質的本性無關後，我們就可以引用理想氣體卡諾循環的結果了。
意義
卡諾定理雖然討論的是可逆機與不可逆機的熱機效率問題，但它具有非常重大的意義。它在公式中引入了一個不等號。前已述及所有的不可逆過程是互相關聯的。由一個過程的不可逆性可以推斷到另一個過程的不可逆性，因而對所有的不可逆過程就可以找到一個共同的判別準則。由於熱功交換的不可逆，而在公式中所引入的不等號，這對於其它過程（包括化學過程）同樣可以使用。就是這個不等號解決了化學反應的方向問題。同時，卡諾定理在原則上也解決了熱機效率的極限值問題。
卡諾循環的構成
熱力學第二定律指出，熱機的熱效率不可能達到100%。那么，在一定條件下，熱機的熱效率最大能達到多少？它又與哪些因素有關？法國工程師卡諾（S. Carnot）在深入考察了蒸汽機工作的基礎上，於1824年提出了一種理想的熱機工作循環—卡諾循環。
設一熱機中有一定量的工質，工作在溫度分別為T1和T2的兩恆溫熱源間。卡諾循環由兩個可逆的定溫過程和兩個可逆的絕熱過程（定熵）組成
四個過程的順序如下：
定溫膨脹過程a-b：工質在定溫T1下，從高溫熱源吸熱Q1並作膨脹功Wo。
定熵膨脹過程b-c：工質在可逆絕熱條件下膨脹，溫度由T1降到T2。
定溫壓縮過程c-d：工質在定溫T2下被壓縮，過程中將熱量Q2傳給低溫熱源。
定熵壓縮過程d-a；工質在可逆絕熱條件下被壓縮，溫度由T2升高至T1，過程終了時，工質的狀態回復到循環開始的狀態a。
逆卡諾循環
如果沿卡諾循環相反的方向進行，就形成卡諾製冷循環和卡諾熱泵循環。
對於卡諾製冷循環，工質可逆定溫從溫度為T2冷庫吸熱，被可逆絕熱壓縮後，可逆定溫向溫度為T1環境介質放熱，最後可逆絕熱膨脹，進入冷庫，完成循環。其製冷係數為Q2/W或T2/T1-T2。
對於卡諾熱泵循環，工質可逆定溫從低溫熱源T2，如環境介質吸熱，被可逆絕熱壓縮後，可逆定溫向高溫熱源T1，如建築物室內放熱，最後可逆絕熱膨脹，完成循環。其供暖係數或熱泵工作性能係數
應當指出，逆卡諾循環雖然實際上不能實現，但卻為提高制冷機和熱泵的完善程度指明了方向，仍具有重要的理論意義。
圖 4-2 卡諾定理證明用圖
對於第一定理的證明
下面用反證法對第一定理進行證明：假設在溫度為T1的高溫熱源與溫度為T2的低溫熱源間工作有兩個任意的可逆熱機R1和R2，如圖4－2(a）所示，其熱效率分別為和。假如，則當兩個熱機從高溫熱源吸取的熱量都為Q1時，根據熱效率的定義可知， ，。這時可讓熱機R1按正向循環工作，用輸出功中的一部分 帶動熱機R2逆向循環工作，如圖4－2(b）所示。聯合運行的結果是每一循環從低溫熱源吸收熱量，對外作功，高溫熱源沒有任何變化，相當於一台單一熱源的第二類永動機。這顯然違背了熱力學第二定律，因此是不可能的。同樣可以證明，也是不可能的。於是只有一種可能性，即。由於上述證明沒有限定工質的性質，所以結論對使用任何工質的可逆熱機都適用。定理二可以同樣採用反證法證明，思路與定理一的證明相同。
卡諾定理(數學)
概述
三角形外心到各邊距離之和等於外接圓半徑與內接圓半徑之和，這一定理稱為卡諾定理，在推斷李代數等領域中的三角形性質中有重要作用。
引理
在外接圓半徑為R，內接圓半徑為r的三角形ABC中，r和R有如下關係:
卡諾定理證明
假設ABC為外心為D的銳角三角形，外心到AB、BC、AC的距離分別為DG、DH、DF，則在三角形HDB中，由外心性質可得
DB=R
角HDB=角A
由此，DH的表達式為
DH=RcosA
同理DG=RcosC、DF=RcosB。
因此，
卡諾定理根據引理，得證
DG+DH+DF=R+r
當ABC為鈍角三角形，且角B大於90°時，則有
DH=RcosA
DF=Rcos(π-B)=-RcosB
DG=RcosC
所以DG+DH-DF=R(cosA+cosB+cosC)=R+r，結論相同，卡諾定理得證。
二
平面幾何中的卡諾定理
定理
線段AB,CD垂直的充要條件為
AC^2-BC^2=AD^2-BD^2
證明
由勾股定理及其逆定理不難得證
套用
解決與圓有關的證明垂直的問題的一種計算方式
