協方差矩陣

在統計學與機率論中，協方差矩陣的每個元素是各個向量元素之間的協方差，是從標量隨機變數到高維度隨機向量的自然推廣。

基本信息

• 形 式：矩陣
• 特殊性：為對稱非負定矩陣
• 元 素：各個向量元素之間的協方差

概念

協方差矩陣

設 為n維隨機變數，稱矩陣

協方差矩陣

協方差矩陣

協方差矩陣

為n維隨機變數 的協方差矩陣（covariance matrix），也記為 ，其中

協方差矩陣

協方差矩陣

協方差矩陣

協方差矩陣

為 的分量 和 的協方差（設它們都存在）。

協方差矩陣

例如，二維隨機變數 的協方差矩陣為

協方差矩陣

協方差矩陣

其中

協方差矩陣

協方差矩陣

由於 ，所以協方差矩陣為對稱非負定矩陣。

性質

協方差矩陣具有如下性質：

協方差矩陣

（1） .

協方差矩陣

（2） ，其中A是矩陣，b是向量。

協方差矩陣

（3） 。

套用

協方差矩陣

協方差矩陣

協方差矩陣可用來表示多維隨機變數的機率密度，從而可通過協方差矩陣達到對多維隨機變數的研究。以二維隨機變數 為例，由於

引入矩陣

協方差矩陣

協方差矩陣

，

協方差矩陣

及 的協方差矩陣

協方差矩陣

由此可得

協方差矩陣

由於

協方差矩陣

協方差矩陣

協方差矩陣

於是的機率密度

協方差矩陣

此式可以推廣到n維常態分配的情形。