半序線性空間
正文
一類賦有序關係的線性空間，稱為有序線性空間。如果只考察實值函式，則重要的空間如C（Ω），Lp(Ω)(1≤p<∞),除了有線性結構、拓撲結構以外，還有個按照自然的序:
ƒ≥0,若ƒ(t)≥0對一切（幾乎所有）t∈Ω都成立，構成的序結構。某些空間中的這種序或“正性”，在理論和套用上都是很重要的。
半序空間與向量格 如果實線性空間E的某些元素偶（x，y）之間有關係x≥y，並存在①序關係；x≥x，又 x≥y 且
，x≥y 且 
；②
,x≥y,
；則稱E為半序線性空間。若進而還有③格關係:對x、y∈E恆有z∈E,使x≤z且y≤z，又x≤u，
。就稱E為向量格或里斯空間，且記③中之z為x∨y。 一般對具有性質①的集合，稱為按關係≥是半序的，而上述性質②則意線上性結構與序結構的協調。
向量格實例 ①設CR(Ω)是緊豪斯多夫空間Ω上全體實值連續函式，其上的加法與數乘如通常定義。對 x、y∈C(Ω)定義
,當t∈Ω。這時(x∨y)（t）=max{x（t），y（t）},易見 CR(Ω)是向量格。②設（x,B）是可測空間。設V是全體在(x,B)上有限的,完全可加的集合函式。對μ1,μ2∈V 及實數α定義
,E∈B;
,E∈B,α是實的;
,E∈B。這時， 
當E∈B。可以證明,V是向量格。③對希爾伯特空間H上有界線性運算元A與B,如果對任何有界的T使AT=TA皆有BT=TB，則稱B堻堻A。設 A是H上給定的有界自伴運算元,令RA={H；B
A},定義
，當x∈H,則對
有
。這裡
而
且C≥0，可以證明RA是向量格。 向量格的性質 在向量格中定義
，x_＝(-x)∨0,|x|=x∨(-x)依次稱為x的正部分、負部分、絕對值。在向量格中,每個元x都有若爾當分解
。這是有界變差函式以及抽象測度論中的結果的推廣。 對向量格E中的一族元素
,若有x∈E，使得x≥xα對一切α∈A成立,又任何y≥yα對一切
，則稱x為之上確界，記作
。同樣,可定義下確界
在一般的向量格中，上方有界的點列未必有上確界。如果對Χ之任何上方有界點列
，必有上確界，則稱Χ 為σ-完備的。前述之向量格V與RA都是σ-完備的。 對E中的點列
，若有單調遞減的點列wn使得
，而
，則稱xn序收斂於x0，記作
。 設Χ為實的巴拿赫空間。如果Χ還是一個向量格，而且
，
利用格序關係與序收斂，對σ-完備的向量格 Χ可定義絕對連續元素與奇異元素,從而將拉東-尼科迪姆定理推廣成:Χ的每個元都可惟一地表示成絕對連續元與奇異元的和。又對某些σ-完備向量格中之元α,可惟一地確定一個單位分解{eλ;-∞<λ<∞}，使
，從而將自伴運算元譜分解定理推廣到適當的 σ- 完備向量格上。設Χ為巴拿赫格,如果還有x≥0,
，則稱Χ為抽象L1空間。可以證明有測度空間Ω使得這種Χ線性的，保范序同構於L(Ω),同樣也可用格序關係與範數刻畫Lp(Ω)與C(K),這裡K是緊空間。 參考書目
關肇直編：《泛函分析講義》，高等教育出版社，北京，1958。
A.C.Zaanen and W.A.J.Luxemburg,Riesz Spaces,North-Holland, Amsterdam,1971.
