簡介
函式解析式（Analytic function）
函式解析式與函式式相類似都是求出函式x與y的函式關係。在一次函式中就是求K值也就是它倆的關係。
常用函式的解析式:
一次函式y=kx+b
正比例函式（也是特殊的一次函式）y=kx
反比例函式y=k/x
二次函式y=a*x^2+b*x+c
注意：通俗地講，函式反映的是兩個變數直接的（變化）關係，嚴格地說，函式是兩個數集之間的一種對應關係（映射）。而“規律”首先是一個（真）“命題”，而“命題”，在邏輯學指表達判斷的語言形式，由系詞把主詞和賓詞聯繫而成。例如：‘北京是中國的首都’，這個句子就是一個命題。在現代哲學、邏輯學、語言學中，命題是指一個判斷（陳述）的語義（實際表達的概念），這個概念是可以被定義並觀察的現象。命題不是指判斷（陳述）本身。更進一步，“規律”是事物、現象和過程內在的、本質的必然的聯繫。定律(Laws) 研究宇宙間不變的事實規律所歸納出的結論，不同於理論、假設、定義、 定理，是對客觀事實的一種表達形式，通過大量具體的客觀事實經驗累積歸納而成的結論。與“函式”概念相去甚遠，不應混淆。
另外，函式的“表達式”最好不要籠統的稱為為“解析式”。因為很多函式並不解析（解析的概念在大學“複變函數”等課程中學習），為避免誤用，最好成為“表達式”，這樣更為妥當。
構成
主要有兩部分構成：1、表達式；2、自變數的表達範圍。例如：（1）y=2x-5(x>0) (2)y=2x-5(-3<1)；顯然函式（1）和函式（2）雖然表達式相同，由於自變數範圍不同，所以是不同的兩個函式。有時，函式書寫過程中，存在省略自變數範圍的形式：如：（3）y=2x-5；(4) y=√2x-5；（5）y=1/(2x-5)，這時它們的自變數範圍就是使表達式有意義的自變數的值。（3）的自變數範圍是：x為任意實數（註：這個概念我們默認在實數範圍內討論，下同）；（4）的自變數範圍是：x>=2.5；（5）·的自變數範圍是：x≠2.5。
概念思路
解釋函式概念；函式就是根據運算規則，“算式中最少有兩個互相影響的數值”，這兩個數值稱為(變數)。其中一個是“自變數”（X），為什麼叫“自變數”呢？因為這個數值可控，我們通過改變它來改變另一個變數（Y），另一個變數（Y）由於是受這個自變數（X）改變而得到的，所以另一個變數(Y)稱為這個自變數(X)的函式（在國中舊版教材中稱Y為因變數）！為什麼叫“函式”？看這個詞的構成，“函”的意思是什麼？
“函是不相隸屬機關之間相互商洽工作、詢問和答覆問題”
這個解釋正好又能解釋到“映射”，“不相隸屬機關”就是指這兩個變數，它們兩個之間相互工作，相互影響。映射這個定義實際是很容易解釋的，由於講的是一次函式，就不講牽涉到的知識了。由“函”字的解釋來看已經可以看出“函式”這個詞足以代表這樣一類的關係式,能看出自變數和函式之間的微妙的關係，所以就叫做“函式”了!咱們不管歷史人物怎么起名為“函式”，只看咱們怎么理解為什麼叫做函式。（分析僅供參考）
一次函式
y=kx （k≠0）
這個一次函式是最簡單情況(也稱正比例函式)，這個y=kx也就是關於“一個本子5毛錢，你買10個需要花多少錢。”這類問題的（常數K不能變，那肯定是本子價格，能變的是自變數X，也就是你要買的數量Y是最後掏的錢）。就是沒有任何基礎（在剛才這個問題中也就是說你在買本子前你需不需要付另外的錢，你總不會還沒買本子你就要付多餘的錢然後再付錢買本子吧？所以這個多餘的錢這個在你買完本子後付錢就沒有從那個基礎上再付你買本子的錢），從開始就按照這個規律來走（也就是這一個本子5毛錢，10個本子應該5元錢這個規律），你就只控制X這一個來直接影響Y值，也就是函式值。
那如果是y=kx+b （k≠0）
就是你在買房子時你就要多付一個基礎錢，實際按中介機構交易方式來比喻更容易理解，“好比你要買房子，你去找中介機構了，你得先給人家50元錢，這50元錢你給人家之後不管你最後到底買不買房子，你都得掏，不可要回，也就相當於你不買房了你也得給人家這個錢！這時你這個x也就是房子數量等於0也就是不買，你也得掏那50元中介費！
這個關係式是b=50的函式y=kx+b。
函式關係式其實就是這么一回事，就是一個變數影響另一個變數這樣的關係，用未知數來代替現實生活中某些附加存在的數據和一些可控的數據最終造成的數據。有些數據可能變化規則詭異，但是都是有規律的（因為一切萬物都是按照規律進行的），再想想（分段函式），所以存在二次函式或者什麼的。
函式解析式與函式式相類似都是求出函式x與y的函式關係。
常用函式的解析式:
y=kx （k≠0）
y=kx+b （k≠0）
y=k/x （k≠0）
（反比例函式）
常用方法
[題型一]配湊法
例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。
分析：函式的解析式y=f(x)是自變數x確定y值的關係式，其實質是對應法則f：x→y，因此解決這類問題的關鍵是弄清對“x”而言，“y”是怎樣的規律。
解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
(■+11)
∴f(x)=x2-1(x1)
小結：此種解法為配湊法，通過觀察、分析，將右端“x+2■”變為接受對象“■+1”的表達式，即變為含(■+1)的表達式，這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求。
[題型二]換元法
例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。
分析：視1-cosx為一整體，套用數學的整體化思想，換元即得。
解：設t=1-cosx
∵-1cosx1∴01-cosx2即0t2
∴cosx=1-t
∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
∴f(t)=-t2+2t(0t2)
即f(x)=-x2+2x(0x2)
小結：①已知f[g(x)]是關於x的函式，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，將x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式。
注意：換元後要確定新元t的取值範圍。
②換元法就是通過引入一個或幾個新的變數來替換原來的某些變數的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以快速實現未知向已知的轉換，從而達到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的套用極為廣泛。
[題型三]待定係數法
例3.設二次函式f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的兩實根平方和為10，圖象過點(0，3)，求f(x)的解析式。
分析：由於f(x)是二次函式，其解析式的基本結構已定，可用待定係數法處理。
解：設f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
由f(x+2)=f(2-x)可知，該函式圖象關於直線x=2對稱
∴-■=2，即b=-4a……①
又圖象過點(0，3)∴c=3……②
由方程f(x)=0的兩實根平方和為10，得(-■)2-■=0
即b2-2ac=10a2……③
由①②③解得a=1，b=-4，c=3
∴f(x)=x2-4x+3
小結：我們只要明確所求函式解析式的類型，便可設出其函式解析式，設法求出其係數即可得到結果。類似的已知f(x)為一次函式時，可設f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)為反比例函式時，可設f(x)=■(k≠0)；f(x)為二次函式時，根據條件可設
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
②頂點式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
③雙根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
[題型四]消元法
例4.已知函式y=f(x)滿足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常數，a≠±b，求函式y=f(x)的解析式。
分析：求函式y=f(x)的解析式，由已知條件知必須消去f(■)，不難想到再尋找一個方程，構成方程組，消去f(■)得f(x)。如何構成呢？充分利用x和■的倒數關係，用■去替換已知中的x便可得到另一個方程。
解：在已知等式中，將x換成■，得af(■)+bf(x)=■，把它與原條件式聯立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②
①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
∵a≠±b∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)
問1.已知：方程：x2+ax+a+1=0的兩根滿足一個條件：一根大於k，一根小於k(k是實數)，求a的取值範圍。(此題一種方法是圖象法，還有一種方法，能告訴這兩種方法嗎？)
答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1圖象為開口向上的拋物線，因此只需f(k)<0即可。
∴k2+ak+a+1<0，即a(k+1)<-k2-1
∴當k>-1時，a<■；當k■；當k=-1時，a無解。
方法二：(x1-k)(x2-k)0
只需(x1-k)(x2-k)<0即可，x1x2-k(x1+x2)+k2<0
即a+1+ka+k2<0，以下同方法一。
問2.為什麼求解時只需求(x1-k)(x2-k)<0，而不需再求根的判別式是否大於0？
答：法二不需要驗判別式，原因可以舉個簡單例子說明，如：若研究x2+ax+b=0兩根滿足：一個根大於0，一個根小於0，只需x1x20恆成立。
