基本介紹
鞅可以用於研究公平賭博(公平博弈)，然而，現實生活中的博弈很多時候都是非公平的，此時，就需要藉助上、下鞅的理論，上、下鞅可以解決非公平博弈問題。
下鞅
下鞅定義1 與 是隨機過程，如果滿足下列條件：
下鞅(1)
下鞅(2)
下鞅
下鞅(3) 是 的函式。
下鞅 下鞅則稱 關於 是一個 上鞅。
下鞅 下鞅定義2 與 是隨機過程，如果滿足下列條件：
下鞅(1)
下鞅(2)
下鞅 下鞅(3) 是 的函式。
下鞅 下鞅則稱 關於 是一個 下鞅。
下鞅的性質及證明
下鞅
下鞅 下鞅
下鞅 下鞅定理 如果 ， 關於 是上(下)鞅， 則 關於 是上(下)鞅。
下鞅 下鞅 下鞅證明：若 ， 關於 是上鞅，則：
下鞅進而
下鞅 下鞅 下鞅即 關於 是上鞅。
下鞅 下鞅同理，可證 關於 是下鞅。
Jensen不等式與下鞅的構造
下鞅
下鞅先介紹Jensen不等式，設 為一凸函式，即對 有
下鞅
下鞅其推廣結果為：對
下鞅
下鞅因此， 。
下鞅同理， 。
將X換成X，然後利用下鞅的性質可得下面的定理。
下鞅 下鞅 下鞅
下鞅
下鞅 下鞅定理1 如果 關於 是鞅， 為一凸函式，且對 ，則 關於 是下鞅。
下鞅 下鞅
下鞅
下鞅
下鞅 下鞅推論1 如果 關於 是鞅，對 ，則 ， 關於 是下鞅。
由於絕對值函式和平方函式為凸函式，因此可用任意凸函式構造下鞅。
下鞅 下鞅
下鞅
下鞅 下鞅推論2 如果 關於 是鞅，對 ，則 關於 是下鞅。
下鞅注意： 函式 是關於x的凸函式(convex function)，其中a>0，x≥0．
對任意的非負隨機變數X，利用Jensen不等式，於是有
下鞅當然，此函式也可用於下鞅的討論。
鞅分解定理
下鞅
下鞅
下鞅
下鞅定理 對於任意一個 關於 的下鞅，必存在過程 與 ，使得：
下鞅 下鞅(1) 關於 是鞅；
下鞅
下鞅
下鞅(2) 是 的函式(n≥2)，且 ；
下鞅(3) 。
且上述分解是唯一的。
