簡介
在數的發展中一開始只有自然數，再進一步，則是複數的出現。然後動機就是在高斯成功的將複數轉換成高斯平面以幾何表示後能不能有一種數，可以在三維，或更高維度來表示。
但是當複數出現後，為什麼只有2元數才會成立，又是哪些因素造成這種限制？或許，這些是值得我們去深思熟慮的…。
發展
三元數被提出
Gauss將複數（ ）成功轉移到高斯平面上，使複數得以用幾何方法表示，並且滿足“模法則”。
複數模法則：
令
在複數（ ）發展出來後，Hamilton提出了一個疑問：既然
有複數的存在，那是否會也會有一種數（ ）可在三維空間表示？但是， 經過了幾次的證明後，最後卻只發現了四元數，而未發現三元數的存在。
問題的出現及轉機
為什麼三元數會不存在呢？其實三元數，它已被定義為一個具有加減法、數乘運算的數。
加減法：
數乘運算：
但是，在定義三元數的乘法時，卻遇到了不可逾越的障礙。例如：乘法不能滿足“模法則”和普通運算定律（如交換律等）。而且無法明確的訂出ij與ji的關係和其值。
（一） 模法則：
“模法則”的存在，否定了“三元數”。為什麼呢？
假設三元數 ， 符合“模法則”則
但是勒讓得的三數平方和定理，說明了只要是8n+7的數，都無法表示成三數的平方和。
當 =0（mod8）或1（mod8）或4（mod8），三個數的平方和可以是0（mod8）、1（mod8）、2（mod8）、3（mod8）、4（mod8）5（mod8）、6（mod8），因此無法是7（mod8)，所以當模相乘為8n+7時,找不到 滿足“模法則”。
（二）ij與ji
A.令a+bi+cj包含複數子集，所以ii=-1等複數性質應保留=>jj=-1那么，ij與ji=？
假設ij=ji
=？
=？ (ij)(ij)=i(ji)j=i(ij)j=ij=(-1)(-1)=1 所以ij=1或ij=-1
當ij=1或 都無法滿足“模法則”。
B. 利用 = ，取1、i、j的向量係數平方和發現： = ，因此假設ij=0。
但是i、j的模都是1，那么ij的模不可能是0，所以此假設是不合理的。
如果ij=-ji，ij=k但是k=？又是一顆大石頭
- =
是k的模，又得知k同時與1、i、j互相垂直。因此證實了三元數的不存在，而且還推敲出了四元數。
八元數
Hamilton推出四元數後，他的一位好友格拉夫斯(Graves)及英國的數學家凱萊(Cayley)發現八元數。(因為Cayley的名氣較高，後人即將八元數稱為Cayley數)
我們知道，四元數是由複數的推廣而來
其中R是實數系，C是複數系，H是四元數系，C是Cayley數
格拉夫斯(Graves)所發現滿足“模法則”的八元數即：
八元數乘法公式此外，下圖是格拉夫斯(Graves)所發現的八元數乘法公式（橫行*豎行）：
那么，我們能不能再推廣出2n元數呢？
哈密頓(Hamilton)創造了四元數、凱萊(Cayley)定義了八元數，它們都稱之為”超複數”，如果我們忽略掉一些運算性質，如：交換律、結合律……等。超複數還可推廣至十六元數、三十二元數。只是實用價值非常非常的低。
結論
三數平方和定理使三元數出現了定義上的問題，而之後ij的值，也為三元數帶來一堆不可解決的問題。或許，三元數在一開始的想法就是錯誤的，也有可能他需要另一種數來（實數、虛數之外）代表ij。畢竟他唯一違反的運算定律只有在乘法上。
複數可推廣至2元數，但是他的實用價值就相當的低了。以致於，後來在1880年，數學家提出了向量代數來取代了四元數及八元數等。
