簡介
朱世傑字漢卿，號松庭．北京附近人．生卒年不詳，生活於13—14世紀．數學．
關於朱世傑的生平，流傳下來的資料甚少，僅能從趙城、莫若、祖頤等人為他的著作《算學啟蒙》和《四元玉
鑒》所寫的序言中找到一些線索．這些序言均稱“燕山松庭朱君”、“燕山朱漢卿先生”．在《四元玉鑒》每卷之首也均署名為“寓燕松庭朱世傑漢卿編述”，可見他的籍貫當在現在的北京或其附近．莫若序中有“燕山松庭朱先生以數學名家週遊湖海二十餘年矣．四方之來學者日眾，先生遂發明《九章》之妙，以淑後學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤後序中亦有“漢卿，名世傑，松庭其自號也．周流四方，復游廣陵，踵門而學者雲集……．
”這兩篇序均寫於元大德七年(1303)，以莫若序中所說的“以數學名家週遊湖海二十餘年矣”來推算，朱世傑從事數學教學和數學研究的年代當在13世紀末和14世紀初．
1234年蒙古聯宋滅金之後，又經過40餘年，至1276年才攻占了南宋的都城臨安，1279年南宋滅亡．
中國古籍全錄
朱世傑的青少年時代，大約相當於蒙古滅金之後．但早在滅金之前，蒙古軍隊便已攻占了金的中都(今北京，
是1215年攻占的)．元世祖忽必烈繼位之後，為便於對中原地區的攻略，便遷都於此地，改稱燕京，後又改稱為大
都．到13世紀60年代，燕京不只是重要的政治中心，同時也是重要的文化中心．
忽必烈為了鞏固元朝的統治，網羅了一大批漢族的知識分子作為智囊團．其中有以編制《授時曆》聞名的王恂
(1235-1281)、郭守敬(1231—1316)以及編制曆法的倡導者和主持者劉秉忠(1216—1274)、張文謙(1216—1283)、
許衡(1209—1281)等人．這個集團中的人物，對數學和曆法都很精通．他們未入朝之前，曾隱居於河北南部的武安紫金山中．受到忽必烈禮聘的，還有李治(1192—1279)，他也是一位著名的數學家．
就當時的數學發展情況而論，在13世紀中葉，在河北南部和山西南部地區，出現了一個以“天元術”(一種帶
有中國古代數學特點的代數學)為代表的數學研究中心．按祖頤在“《四元玉鑒》後序”中敘述天元術發展情況時
所說：“平陽(今山西臨汾)蔣周撰《益古》，博陸(今河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉(今河北獲鹿)石信道撰《鈐經》，平水(今山西新絳)劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳人(今山西新絳)元裕細草之，後人始知有天元也．平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》兼有地元，霍山(今山西臨汾)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》末僅有人元二問吾友燕山朱漢卿先生演數有年，探三才之賾，索《九章》之隱，按天地人物成立四元……．”這段序文敘述出朱世傑學術上的師承關係．毫無疑問，他較好地繼承了當時北方數學的主要成就．當時的北方，正處於天元術逐漸發
展成為二元、三元術的重要時期，正是朱世傑把這一成就拓展為四元術的．
朱世傑除繼承和發展了北方的數學成就之外，還吸收了當時南方的數學成就——各種日用、商用數學和口訣、
歌訣等．本來，在元滅南宋之前，南北之間的數學交流是比較少的．朱世傑“周流四方，復游廣陵(今揚州)”應是在1276年元軍對南宋的大規模軍事行動結束之後．朱世傑在經過長期遊學、講學之後，終於在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部數學著作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》．
隋唐以來，中原地區經濟中心和文化中心逐漸南移．長江中下游一帶，五代十國時期就比較穩定，北宋時期也
有較大發展．隨著金兵入侵和宋王朝的南遷，江南地區的農業、手工業、商業和城市建設等都有較大發展．在這樣的社會條件下，中國數學中自晚唐以來不斷發展的簡化籌算的趨勢有了進一步的發展，日用數學和商用數學更加普及．南宋時楊輝的著作可以作為這一傾向的代表，而朱世傑所著的《算學啟蒙》，則是這一傾向的繼承和發展．
當然，以所取得的成就而論，《四元玉鑒》是遠超《算學啟蒙》的．清代羅士琳在評論朱世傑的數學成就時說
：“漢卿在宋元間，與秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可稱鼎足而三．道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類儘量，神而明之，尤超越乎秦李之上”(羅士琳編《疇人傳·續編·朱世傑條》)．清代另一位數學家王鑑也說：“朱松庭先生兼秦李之所長，成一家之著作”(王鑑《算學啟蒙述義·自序》)．此外，朱世傑還繼承發展了日用、商用數學．由此可見，朱世傑可以被看作是中國宋元時期數學發展的總結性人物，是宋元數學的代表，是中國以籌算為主要計算工具的古代數學發展的預峰．
朱世傑的數學著作，如前所述，有《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二種，下面略加評介．
1．《算學啟蒙》
《算學啟蒙》全書共3卷、分為20門，收入了259個數學問題．全書由淺入深，從整數的四則運算直至開高次方
、天元術等，包括了當時已有的數學各方面內容，形成了一個較完備的體系，可用作教材，它確實是一部較好的啟蒙數學書．
在全書之首，朱世傑首先給出了18條常用的數學歌訣和各種常用的數學常數．其中包括：乘法九九歌訣、除法
九歸歌訣(與後來的珠算歸除口訣完全相同)、斤兩化零歌訣(“一退六二五”之類)、籌算記數法則、大小數名稱、度量衡換算、面積單位、正負數的四則運算法則、開方法等等．值得指出的是，朱世傑在這裡，也是在中國數學史上首次記述了正負數的乘除運算法則．朱世傑把上述這些歌訣和數學常數等，作為“總括”而列在全書之首，這種寫作的方式，在中國古算書中並不多見．
《算學啟蒙》正文分上、中、下三卷．
卷上：共分為8門，收有數學問題113個，其內容為：乘數為一位數的乘法、乘數首位數為一的乘法、多位數乘
法、首位除數為一的除法、多位除數的除法、各種比例問題(包括計算利息、稅收等等)．
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其中“庫司解稅門”第7問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”，同門第10、11兩問中均載有“兩務稅”
等，都是當時實際施行的稅制．朱世傑在書中的自注中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可見書中的各種數據大都來自當時的社會實際．因此，書中提到的物價(包括地價)、水稻單位面積產量等，對了解元代社會的經濟情況也是有用的．
卷中：共7門，71問．內容有各種田畝面積、倉窖容積、工程土方、複雜的比例計算等等．
卷下：共5門，75問．內容包括各種分數計算、垛和問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等等．
這樣，《算學啟蒙》全書從簡單的四則運算入手，一直講述到當時數學的重要成就——天元術(高次方程的數值解法)，為閱讀《四元玉鑒》作了必要的準備，給出了各種預備知識．清代羅士琳說《算學啟蒙》“似淺實深”，又說《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二書“相為表里”，這些話都是不錯的．
《算學啟蒙》出版後不久即流傳至朝鮮和日本．在朝鮮的李朝時期，《算學啟蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝選仕(算官)的基本書籍．在日本收藏有一部首尾殘缺、未註明年代的《算學啟蒙》，與此書一起，同時也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鮮慶州府刻版的《楊輝算法》．從版刻形式等方面來辨識，兩部書是相同的，從而有人推斷這部《算學啟蒙》也是1433年朝鮮慶州府刻本．這可能要算是當今世界上最早的傳世刻本．在《李朝實錄》中也記有世宗本人曾向當時的副提學鄭麟趾學習《算學啟蒙》的史料．
《算學啟蒙》傳入日本的時間也已不可考，是久田玄哲在京都的一個寺院中發現了這部書，之後他的學生土師
道雲進行了翻刻(日本萬治元年，1658，京都)．寬文12年(1672)又在江戶(今東京)出版了星野實宣註解的《新編算學啟蒙註解》3卷，元祿三年(1690)還出版了著名的和算家建部賢弘注釋的《算學啟蒙諺解大成》7卷．《算學啟蒙》對日本和算的發展有較大的影響．
《算學啟蒙》一書在朝鮮和日本雖屢有翻刻，但明末以來，在中國國內卻失傳了．清末道光年間羅士琳重新翻刻《四元玉鑒》時，《算學啟蒙》尚無著落．後來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，請人在北京找到順治十七
年(1660)朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在揚州重新刊印出版．這個本子，後來成為中國現存各種版本的母本．清代對《算學啟蒙》進行注釋的有王鑑所著《算學啟蒙述義》(1884)和徐鳳誥所著《算學啟蒙通釋》(1887)．
2．《四元玉鑒》
與《算學啟蒙》相比，《四元玉鑒》則可以說是朱世傑闡述自己多年研究成果的一部力著．全書共分3卷，24
門，288問．書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關，其中四元的問題(需設立四個未知數者)有7問(“四象朝元”6問，“假令四草”1問)；三元者13問(“三才變通”11問，“或問歌彖”和“假令四草”各1問)；二元者36問(“兩儀合轍”12問，“左右逢元”21問，“或問歌彖”2問，“假令四草”1問)；一元者232問(其餘各問皆為一元)．可見，四元術——多元高次方程組的解法是《四元玉鑒》的主要內容，也是全書的主要成就．
《四元玉鑒》中的另一項突出的成就是關於高階等差級數的求和問題．在此基礎上，朱世傑還進一步解決了高
次差的招差法問題．
四元玉鑒》一書的流傳和《算學啟蒙》一樣，也曾幾經波折．這部1303年初版的著作，在15和16兩個世紀都
還可以找到它流傳的線索．吳敬所著《九章算法比類大全》(1450)中的一些算題，和《四元玉鑒》中的算題完全相同或部分相同．顧應祥在其所著《孤矢算術》序言(1552)中寫道：“孤矢一術，古今算法載者絕少，……《四元玉鑒》所載數條。”周述學所著《神道大編歷宗算會》卷三之首曾引用了《四元玉鑒》書首的各種圖式，書中有些算題也與《四元玉鑒》相同，卷十四作為“算會聖賢”列有“松庭《四元玉鑒》”．可見顧周二人都曾讀到過《四元玉鑒》．清初黃虞稷(1618—1683)《千頃堂書目》記有“《四元玉鑒》二卷”，卷數不符．梅瑴成《赤水遺珍》(1761)中曾引用過《四元玉鑒》中的兩個題目，可見清初時此書尚未失傳．
乾隆三十七年(1772)開《四庫全書》館時，雖然挖掘出不少古代數學典籍，但朱世傑的著作並未被收入．阮元
、李銳等人編纂《疇人傳》時(1799)也尚未發現《四元玉鑒》．但不久之後阮元即在浙江訪得此書，呈入《四庫全書》，並把抄本交李銳校算(未校完)，後由何元錫按此抄本刻印．這是1303年《四元玉鑒》初版以來的第一個重刻本．《四元玉鑒》被重新“發現”之後，引起了當時許多學者的注意，如李銳(1768-1817)、沈欽裴(1829年寫有《四元玉鑒》序)、徐有壬(1800—1860)、羅士琳(1789—1853)、戴煦(1805-1860)等人，都進行過研究．其中，以沈欽裴和羅士琳二人的工作最為突出．
1839年羅士琳經多年研究之後，出版了他所著的《四元玉鑒細草》一書，影響廣泛．羅氏對《四元玉鑒》進行
了校改並對書中每一問題都作了細草．但是他對此書關鍵問題(四元消法和級數求和)的理解，尚有需進一步研究者．與羅士琳同時，沈欽裴也對《四元玉鑒》作了精心的研究，每題也作了細草，經對比，沈氏《細草》比羅氏《細草》要更符合朱世傑原意．沈氏《細草》僅有兩種抄本傳世(其中一種是全本)，現均收藏於北京圖書館．
清代數學家李善蘭曾著有《四元解》(1845)，但此書是作者以己意解四元方程組，對了解朱世傑原意幫助不大
．其後陳棠著《四元消法簡易草》(1899)，卷末附有“假令四草”的“補正草”，對理解朱世傑四元術是有幫助的．日本數學史家三上義夫在其所著《中國及日本數學之發展》(ThedevelopmentofmathematicsinChinaandJapan，1913)一書中將《四元玉鑒》介紹至國外．其後康南茲(E．L．Konantz)和赫師慎(L．VanHeé分別把《四元玉鑒》中的“假令四草”譯為英法兩種文字．1977年華裔紐西蘭人謝元祚(J．Hoe)將《四元玉鑒》全文譯成法文，並寫了關於《四元玉鑒》的論文．
朱世傑的數學成就可簡述如下：
1．四元術
四元術是在天元術基礎上逐漸發展而成的．天元術是一元高次方程列方程的方法．天元術開頭處總要有“立天
元一為××”之類的話，這相當於現代初等代數學中的“設未知數x為××”．四元術是多元高次方程列方程和解
方程的方法，未知數最多時可至四個．......
內容
釋九數法
—一如一，一二如二，二二如四。一三如三，二三如六，三三如九。一四如四，二四如八，三四一十二，四四
一十六。一五如五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九。一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四。一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。
九歸除法
一歸如一進，見一進成十。二一添作五，逢二進成十。三一三十一，三二六十二，逢三進成十。四一二十二，
四二添作五，四三七十二，逢四進成十。五歸添一倍，逢五進成十。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十。七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六十四，逢七進成十。八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十。九歸隨身下，逢九進成十。
斤下留法
一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留單五
，九留五六二五，十留六二五，十一留六八七五，十二留七五，十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。
明縱橫訣
一縱十橫，百立千僵。千十相望，萬百相當。滿六已上，五在上方。六不積聚，五不單張。言十自過，不滿自
當。若明此訣，可習“九章”。
大數之類
一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，
萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載，萬萬載曰極，萬萬極曰恆河沙，萬萬恆河沙曰阿僧祗，萬萬阿僧祗曰那由他，萬萬那由他曰不可思議，萬萬不可思議曰無量數。
小數之類
一、分、厘、毫、絲、忽、微、纖、沙。萬萬塵曰沙，萬萬埃曰塵，萬萬渺曰埃，萬萬漠曰渺，萬萬模糊曰漠
，萬萬逡巡曰模糊，萬萬須臾曰逡巡，萬萬瞬息曰須臾，萬萬彈指曰瞬息，萬萬剎那曰彈指，萬萬六德曰剎那，萬萬虛曰六德，萬萬空曰虛，萬萬清曰空，萬萬淨曰清。千萬淨，百萬淨，十萬淨，萬淨，千淨，百淨，十淨，一淨。
求諸率類
兩求銖二十四乘，銖求兩二十四除。斤求兩身外加六，兩求斤身外減六。秤求斤身外加五，斤求秤身外減五。
據物賣錢而用乘，據錢買物而用除。
斛斗起率
量起於圭，十圭謂之一撮，十撮謂之一抄，十抄謂之一勺，十勺謂之一合，十合謂之一升，十升謂之一斗，十
斗謂之一斛。
斤秤起率
衡起於黍。十黍謂之一絫，十絫謂之一銖，六銖謂之一分，四分謂之一兩，十六兩謂之一斤，十五斤謂之一秤
，三十斤謂之一鈞，四鈞謂之一碩。
端匹起率
度起於忽。十忽謂之一絲，十絲謂之一毫，十毫謂之一厘，十厘謂之一分，十分謂之一寸，十寸謂之一尺，十尺謂之一丈。
匹率。端率。
田畝起率
田起於忽。十忽謂之一絲，十絲謂之一毫，十毫謂之一厘，十厘謂之一分，十分謂之一畝，百畝謂之一頃。三百步謂之一里。
古法圓率
周三尺，徑一尺。
劉徽新術
周一百五十七尺，徑五十尺。
沖之密率
周二十二尺，徑七尺。
明異名訣
二分之一為中半，三分之一為少半，三分之二為太半，四分之一為弱半，四分之三為強半。
明正負術
……
