factorization

factorization

factorization漢語意即因式分解。指的是把一個多項式分解為幾個整式的積的形式,它被廣泛地套用於初等數學之中,是中學數學中最重要的恆等變形之一,國中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.而在競賽上,又有拆項和添項法,待定係數法,雙十字相乘法,輪換對稱法等。

國中解題方法

國中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.而在競賽上,又有拆項和添項法,待定係數法,雙十字相乘法,輪換對稱法等。

提公因式法

factorization factorization

①公因式:各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的~.

②提公因式法:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括弧外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

am+bm+cm=m(a+b+c)

③具體方法:當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的,一般要提出“-”號,使括弧內的第一項的係數是正的.

運用公式法

①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

分組分解法

分組分解法:把一個多項式分組後,再進行分解因式的方法。

分組分解法必須有明確目的,即分組後,可以直接提公因式或運用公式。

拆項、補項法

拆項、補項法:把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解;要注意,必須在與原多項式相等的原則進行變形。

十字相乘法

①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 時,那么

kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)

a \-----/b ac=k bd=n

c /-----\d ad+bc=m

※ 多項式因式分解的一般步驟:

①如果多項式的各項有公因式,那么先提公因式;

②如果各項沒有公因式,那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;

③如果用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;

④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

套用因式定理

如果f(a)=0,則f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定(x+2)是x^2+5x+6的一個因式。

經典例題:

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.證明:對於任何數x,y,下式的值都不會為33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

當y=0時,原式=x^5不等於33;當y不等於0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立。

因式分解方法

把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣,現總結如下:

提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考題)

x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1)

套用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係,如果把乘法公式反過來,那么就可以用來把某些多項式分解因式。

例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考題)

解:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)

分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m

解:m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n

= (m^2 -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

十字相乘法

對於mx^2 +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x^2 -19x-6

分析:

1 -3

7 2

2-21=-19

解:7x^2 -19x-6=(7x+2)(x-3)

配方法

對於那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解。

例5、分解因式x^2 +3x-40

解x^2 +3x-40

=x^2+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)^2-(6.5)^2

=(x+8)(x-5)

拆、添項法

可以把多項式拆成若干部分,再用進行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

換元法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來。

例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2

解: 2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 =2x^4-2x^2-2(2x^2)-x^3+x-2x+2

=2x^2 (x^2-1)- 2(2x^2)- x(x^2-1)-2(x-1)

=(x^2-1)(2x^2-x)-2(2x^2)- 2(x-1)

=x(x^2-1)(2x-1)-2(2x^2+x-1)

=x(x+1)(x-1)(2x-1)-2(2x-1)(x+1)

=(2x-1)(x+1)[x(x-1)-2]

=(2x-1)(x+1)(x^2-x-2)

=(2x-1)(x+1)(x-2)(x+1) 或=(2x-1)(x-2)(x+1)^2

求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )

例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6

解:令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0

通過綜合除法可知,f(x)=0根為1/2 ,-3,-2,1

則2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

圖像法

令y=f(x),做出函式y=f(x)的圖像,找到函式圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )

例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6

解:令y= x^3 +2x^2 -5x-6

作出其圖像,與x軸交點為-3,-1,2

則x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

主元法

先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析:此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列

解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

利用特殊值法

將2或10代入x,求出數P,將數P分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。

例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15

解:令x=2,則x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值

則x^3 +9x^2 +23x+15可能=(x+1)(x+3)(x+5) ,驗證後的確如此。

待定係數法

首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母係數,求出字母係數,從而把多項式因式分解。

例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4

分析:易知這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。

解:設x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d)

= x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

四個注意

因式分解初見於九年義務教育三年制國中教材《代數》第二冊,在初二上學期講授,但它的內容卻滲透於整箇中學數學教材之中。學習它,既可以複習初一的整式四則運算,又為本冊下一章分式打好基礎;學好它,既可以培養學生的觀察、注意、運算能力,又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。其中四個注意,則必須引起師生的高度重視。

因式分解中的四個注意散見於教材第5頁和第15頁,可用四句話概括如下:首項有負常提負,各項有“公”先提“公”,某項提出莫漏1,括弧裡面分到“底”。現舉數例,說明如下,供參考。

例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。

解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)

這裡的“負”,指“負號”。如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括弧內第一項係數是正的。防止學生出現諸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的錯誤?

如例2 △abc的三邊a、b、c有如下關係式:-c2+a2+2ab-2bc=0,求證這個三角形是等腰三角形。

分析:此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。

證明:∵-c2+a2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+2b+c)=0.

又∵a、b、c是△abc的三條邊,∴a+2b+c>0,∴a-c=0,

即a=c,△abc為等腰三角形。

例3把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1)

這裡的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式,那么先提取這個公因式,再進一步分解因式;這裡的“1”,是指多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式後,括弧內切勿漏掉1。防止學生出現諸如6p(x-1)3-8p2(x-1)2+2p(1-x)2=2p(x-1)2[3(x-1)-4p]=2p(x-1)2(3x-4p-3)的錯誤。

例4 在實數範圍內把x4-5x2-6分解因式。

解:x4-5x2-6=(x2+1)(x2-6)=(x2+1)(x+6)(x-6)

這裡的“底”,指分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底,不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“乾淨”,不留“尾巴”,並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的錯誤。

由此看來,因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中,與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話:“先看有無公因式,再看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適”是一脈相承的。

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