集合論悖論

1902年,英國數學家羅素提出了這樣一個理論:以M表示是其自身成員的集合的集合,N表示不是其自身成員的集合的集合。然後問N是否為它自身的成員?如果N是它自身的成員,則N屬於M而不屬於N,也就是說N不是它自身的成員;另一方面,如果N不是它自身的成員,則N屬於N而不屬於M,也就是說N是它自身的成員。無論出現哪一種情況都將導出矛盾的結論,這就是著名的羅素悖論。

提出

1919年羅素給出了上述悖論的通俗形式,即“理髮師悖論”:一天,薩維爾村理髮師掛出一塊招牌:“村里所有不自己理髮的男人都由我給他們理髮,我也只給這些人理髮。”於是有人問他:“您的頭髮由誰理呢?”理髮師頓時啞口無言。

因為,如果他給自己理髮,那么他就屬於自己給自己理髮的那類人。但是,招牌上說明他不給這類人理髮,因此他不能自己理。如果由另外一個人給他理髮,他就是不給自己理髮的人,而招牌上明明說他要給所有不自己理髮的男人理髮,因此,他應該自己理。由此可見,不管怎樣的推論,理髮師所說的話總是自相矛盾的。

例證

悖論還有很多,這裡有這樣一個有趣的悖論:有個虔誠的教徒,他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的,什麼事都做得到。一位過路人問了一句話:“上帝能創造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎?”下面我們來證明上帝不是萬能的。(用反證法證明)

證明:假設上帝是萬能的,那么上帝能造出一塊他自己都舉不起來的石頭,否則上帝就不是萬能的;但是上帝又舉不起這塊石頭,因此上帝不是萬能的,這與假設矛盾;所以原假設不成立,即上帝不是萬能的。

比如有這樣一個悖論:“我正在說的這句話是謊話”公元前四世紀的希臘數學家歐幾里德提出的這個悖論,至今還在困擾著數學家和邏輯學家。這就是著名的說慌者悖論。在中國古代《墨經》中,也有一句十分相似的話:“以言為盡悖,悖,說在其言。”意思是:以為所有的話都是錯的,這是錯的,因為這本身就是一句話。

現狀

類似的悖論還有很多,這些悖論不斷的影響著數學的發展,科學家們為了消除悖論,做了大量的工作,將集合論進行公理化,形成了今天常用的策梅洛—弗蘭克爾公理系統。

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