概述
芝諾悖論兩分法
芝諾：“一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循環下去，永遠不能到終點。假設此人速度不變，走一段的時間每次除以2，時間為實際需要時間的1/2+1/4+1/8+......，則時間限制在實際需要時間以內，即此人與目的地距離可以為任意小，卻到不了。實際上是這個悖論本身限定了時間，當然到達不了。
《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”
芝諾與莊子悖論的區別為芝諾悖論一定時間內行走的距離不變（即速度不變），而莊子時間不變，這段時間裡的工作卻越來越少（速度越來越慢），可以看出芝諾限制了時間，而莊子的理論可以使時間為無窮大。
三個例子
追烏龜
追烏龜“烏龜”動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。”
如柏拉圖描述，芝諾說這樣的悖論，是興之所至的小玩笑。首先，巴門尼德編出這個悖論，用來嘲笑"數學派"所代表的畢達哥拉斯的"1-0.999...>0"思想。然後，他又用這個悖論，嘲笑他的學生芝諾的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0"思想。最後，芝諾用這個悖論，反過來嘲笑巴門尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。
有人解釋道：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠趕不上慢跑者，因為追趕者必須首先跑到被追者的出發點，而當他到達被追者的出發點，慢跑者又向前了一段，又有新的出發點在等著它，有無限個這樣的出發點。
芝諾當然知道阿喀琉斯能夠捉住海龜，跑步者肯定也能跑到終點。
類似阿基里斯追上海龜之類的追趕問題，我們可以用無窮數列的求和，或者簡單建立起一個方程組就能算出所需要的時間，那么既然我們都算出了追趕所花的時間，我們還有什麼理由說阿基里斯永遠也追不上烏龜呢？然而問題出在這裡：我們在這裡有一個假定，那就是假定阿基里斯最終是追上了烏龜，才求出的那個時間。但是芝諾的悖論的實質在於要求我們證明為何能追上。上面說到無窮個步驟是難以完成。
以上初等數學的解決辦法，是從結果推往過程的。悖論本身的邏輯並沒有錯，它之所以與實際相差甚遠，在於這個芝諾與我們採取了不同的時間系統。人們習慣於將運動看做時間的連續函式，而芝諾的解釋則採取了離散的時間系統。即無論將時間間隔取得再小，整個時間軸仍是由無限的時間點組成的。換句話說，連續時間是離散時間將時間間隔取為無窮小的極限。
其實這歸根到底是一個時間的問題。譬如說，阿基里斯速度是10m/s，烏龜速度是1m/s，烏龜在前面100m。實際情況是阿基里斯必然會在100/9秒之後追上烏龜。按照悖論的邏輯，這100/9秒可以無限細分，給我們一種好像永遠也過不完的印象。但其實根本不是如此。這就類似於有1秒時間，我們先要過一半即1/2秒，再過一半即1/4秒，再過一半即1/8秒，這樣下去我們永遠都過不完這1秒，因為無論時間再短也可無限細分。但其實我們真的就永遠也過不完這1秒了嗎？顯然不是。儘管看上去我們要過1/2、1/4、1/8秒等等，好像永遠無窮無盡。但其實時間的流動是勻速的，1/2、1/4、1/8秒，時間越來越短，看上去無窮無盡，其實加起來只是個常數而已，也就是1秒。所以說，芝諾的悖論是不存在的 。
飛矢不動
飛矢不動上述結論也適用於時刻有持續時間的情況。對於這種情況，時刻將是時間的最小單元。假設箭在這樣一個時刻中運動了，那么它將在這個時刻的開始和結束位於空間的不同位置。這說明時刻具有一個起點和一個終點，從而至少包含兩部分。但這明顯與時刻是時間是的最小單元這一前提相矛盾。因此，即使時刻有持續時間，飛行的箭也不可能在運動。總之，飛矢不動。
箭悖論的標準解決方案如下：箭在每個時刻都不動這一事實不能說明它是靜止的。運動與時刻里發生什麼無關，而是與時刻間發生什麼有關。如果一個物體在相鄰時刻在相同的位置，那么我們說它是靜止的，反之它就是運動的。
遊行隊伍
首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對於觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。◆◆◆◆觀眾席A
▲▲▲▲佇列B
▼▼▼▼佇列C
B、C兩個列隊開始移動，如下圖所示相對於觀眾席A，B和C分別向右和左各移動了一個距離單位。
◆◆◆◆觀眾席A
▲▲▲▲佇列B……向右移動
▼▼▼▼佇列C……向左移動
而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是，佇列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等於一個時間單位的矛盾。因此佇列是移動不了的。
相關評論
數學史家F·卡約里（Cajori）說：“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的歷史。”但遺憾的是，芝諾的著作沒有能流傳下來，我們是通過批評他的亞里士多德及其注釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的。直到19世紀中葉，人們對於亞里士多德關於芝諾悖論的引述及批評幾乎是深信不疑的，普遍認為芝諾悖論只不過是一些有趣的謬見。英國數學家B·羅素感慨地說：“在這個變化無常的世界上，沒有什麼比死後的聲譽更變化無常了。”死後得不到應有的評價的最顯眼的犧牲品莫過於埃利亞的芝諾了。他雖然發明了4個無限微妙、無限深邃的悖論，後世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是一個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。
柏拉圖在他的《巴門尼德》篇中，記敘了芝諾和巴門尼德在公元前5世紀的中期去雅典的一次訪問。其中說：“巴門尼德年事已高，約65歲，滿頭白髮，但儀表堂堂。那時芝諾約40歲，身材魁梧而美觀。”並在書中記述了芝諾的觀點。據說芝諾在為巴門尼德的“存在論”辯護。但是不象他的老師那樣企圖從正面去證明存在是“一”不是“多”，是“靜”不是“動”，他常常用歸謬法從反面去證明：“如果事物是多數的，將要比是‘一’的假設得出更可笑的結果。”他用同樣的方法，巧妙地構想出一些關於運動的論點。他的這些議論，就是所謂“芝諾悖論”。芝諾有一本著作《論自然》。在柏拉圖的《巴門尼德》篇中，當芝諾談到自己的著作時說：“由於青年時的好勝著成此篇，著成後，人即將它竊去，以致我不能決斷，是否應當讓它問世。”
公元5世紀的評論家普羅克洛斯(Proclus)在給這段話寫的評註中說，芝諾從“多”和運動的假設出發，一共推出了四十個各不相同的悖論。芝諾的著作久已失傳，亞里士多德的《物理學》和辛普里西奧斯為《物理學》作的注釋是了解芝諾悖論的主要依據，此外還有少量零星殘篇可提供佐證。現存的芝諾悖論至少有八個，其中最著名的是關於運動的四個悖論。
