里茨－加廖金方法

里茨－加廖金方法是求解數學物理方程的近似方法，主要用於橢圓型邊值問題。使方法具有極大的靈活適用性，能很好地處理複雜的幾何形狀、間斷介質以及奇性載荷等情況，在科學與工程的計算中獲得廣泛的使用。

里茨－加廖金方法

正文

求解數學物理方程的近似方法，主要用於橢圓型邊值問題,W.里茨於1908年對此做了開創性的工作。這類方法從變分原理出發，選定有限個試探函式φ1,φ2,…,φN，用它們的線性組合構造近似解,從而把問題歸結為確定組合中的係數。
極小值原理　表達物理基本定律的一種形式，其表達可概括如下：給出一個依賴於物理狀態v（為一函式）的變數J(v)（數學上稱為泛函），同時給出J(v)的容許函式集V，即一切容許取的物理狀態,則真實的物理狀態就是V中使J(v)達到極小值的函式u。例如彈性力學中著名的極小能量原理的表述是：彈性體在外力作用下的平衡位移使總勢能達到極小。這裡，總勢能是位移函式的泛函。現討論小變形的均勻彈性膜，膜在區域Ω上的垂直位移用函式v(x,y)表示,假定在邊界嬠Ω上膜固定在坐標平面上，即

， (1)

在外力ƒ(x,y)作用下彈性膜的總勢能為

(2)

它的容許函式集 V是滿足邊界條件(1)並使積分(2)存在的全體函式。由極小能量原理得出：彈性膜的平衡位移u是V中使總勢能(2)達到極小的函式，即

。 (3)

虛功原理　又稱虛位移原理，在力學中與極小能量原理同屬變分原理。它的一般表述是：平衡系的力對虛位移所作的虛功為零。在彈性膜的例子中,如果仍以u表示平衡位移，則虛功原理可表達為：對所有 υ∈V，u使

(4)

成立。變分問題(3)或(4)確定的平衡位移u,也是泊松方程第一邊值問題的解，即u滿足

式中Δ為拉普拉斯運算元。
里茨法　從與微分方程問題等價的極小值原理出發，選擇有限個試探函式φ1,φ2,…,φN，在它們的線性組合中去找近似解。一般而言，試探函式φj須屬於容許函式集V。把代入(2)，得到

(5)

式中

，

。

由多元微分學可推出極小解的係數C壣應滿足

(6)

故問題歸結為求解線代數方程組(6)。
加廖金法　從虛功方程(4)出發,把近似解表為試探函式φ1，φ2，…，φN的線性組合,另選定函式ψ1，ψ2,…,ψN作為(4)中的虛位移,ψi也須滿足邊界條件(1)，稱為檢驗函式。將線性組合代入虛功方程(4)，得到

利用分部積分公式得

。

若取ψi=φi,可看出方程組(7)即方程組(6)，也就是說這時里茨法與加廖金法一致。由於檢驗函式ψi的選擇可不同於試驗函式φi，另外，對非自共軛問題lu=ƒ不存在等價的極小值問題，但可建立等價的廣義虛功方程

加廖金法仍可用，所以加廖金法是里茨法的推廣，它比里茨法更靈活和廣泛。
里茨－加廖金法的有效使用依賴於試探函式和檢驗函式的選取，傳統的做法是選取代數或三角多項式之類的解析函式，其優點是，對光滑解只需很少幾個φj，近似解就能達到很高的精度。在電子計算機出現之前，這種方法比較切合實際。但這樣選取的函式只當區域Ω的形狀很特殊才能滿足給定的邊界條件，故在套用上受到很大限制。隨著電子計算機的出現，產生了有限元方法，它繼承了里茨-加廖金法從變分原理出發的基本特點,但不用多項式之類的解析函式，而是用剖分插值的方法構造試探函式和檢驗函式，從而使方法具有極大的靈活適用性，能很好地處理複雜的幾何形狀、間斷介質以及奇性載荷等情況，在科學與工程的計算中獲得廣泛的使用。

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