基本簡介
設M是一個2n維微分流形，稱一個二次微分形式ω叫做M上的一個辛結構（symplectic structure）或辛形式，如果ω滿足
ω是一個閉形式，即dω=0。
ω是非退化的，即ω^n（ω的n次外積）是一個處處非零的2n次微分形式。
我們稱（M，ω）為一個辛流形。簡單的說，辛幾何就是研究辛流形的性質的一種幾何，一般認為屬於微分幾何的範疇。
辛流形的例子
緊的微分流形存在辛結構的一個阻礙是可定向和第二個上同調群的秩非零。
凱勒流形
主條目：凱勒流形
一大類緊的辛流形來源於復代數幾何，譬如，n維復射影空間都存在一個標準的辛形式（稱為Fubini-Study形式）；Fubini-Study形式限制在任何光滑的復射影簇上都是一個辛形式。更一般的，任何Kaehler流形都是辛流形。
餘切叢
參見：向量叢
任何微分流形的餘切叢上都有一個典則的辛形式。這是一大類非緊的辛流形。事實上餘切叢可以看作經典力學的相空間，而一般的辛流形則是它的推廣。
辛幾何的歷史
達布定理和Weinstein定理
達布定理是辛幾何中第一個重要的定理。它斷言辛流形上任意一個點附近存在一個局部坐標系，使得辛形式在這組坐標系下是歐式空間的標準的辛形式。這樣的坐標系被稱為達布坐標系。這說明不同於黎曼幾何，辛幾何中並沒有曲率這樣的局部概念，而辛流形的所有性質應該都是整體的。
類比於達布定理，Alan Weinstein證明，任何嵌入的拉格朗日子流形L都有一個管狀鄰域，使得辛形式在這個鄰域的限制等價於L的餘切叢上的典則的辛形式。這樣的鄰域被稱為Weinstein鄰域。
擬全純曲線
辛幾何發展的里程碑是在1985年，俄羅斯數學家格羅莫夫（M. Gromov）引入了擬全純曲線（Pseudo-holomorphic curve）的概念
，證明了譬如不可壓縮定理（Non squeezing theorem）等一些非常奇妙的定理。這套理論後來發展成為格羅莫夫-威騰不變數（Gromov-Witten invariant），弗洛爾同調（Floer homology）等在辛幾何中非常重要的理論。
阿諾德猜測
前蘇聯數學家阿諾德（V. I. Arnold）猜測緊緻辛流形的辛自同構至少要有一定數目的不動點，並將不動點的數目估計同拓撲學中的莫爾斯不等式做類比。
這個猜測成為辛幾何在二十世紀最後20年的指導性綱領。德國數學家弗洛爾（Andreas Floer）為證明阿諾德猜測，引入了弗洛爾同調的概念，成為辛幾何領域的重要工具。
鏡像對稱
主條目：鏡像對稱
在弦理論中，物理學家發現卡拉比-丘流形（一類特別的辛流形）存在一種被稱為“鏡像對稱”的現象，即一個卡拉比-丘流形的復幾何性質對應著另一個卡拉比-丘流形（它的鏡像流形）的辛幾何性質。這個觀點極大的影響了1990年代之後的辛幾何的研究。其中1998年菲爾茲獎得主孔采維奇（Maxim Kontsevich）提出的“同調鏡像對稱”猜想，日本幾何學家深谷賢治（Kenji Fukaya）提出的“深谷範疇”等在現代辛幾何的研究中都有非常重要的意義。
