費氏數列費氏數列，又譯為“費波那契數列”或“斐波那契序列”；中世紀的義大利數學家費波那契（Leonardo Fibonacci，西元1170-1250年）發現了這樣的一個數列： 1、1、2、3、5、8、13、……；後人稱之為費氏數列，並且對其性質加以研究與套用、發揚光大。
簡介
費氏數列費氏數列是是由一連串的數字所組成的（假設為a 1 、a 2 、a 3 ……a n-1 、a n ），而且這串數字之間具有一定的規則，就是：每一個數字必須是前兩個數字的和( a n = a n-1 + a n-2 )。 每一個數字必須是前兩個數字的和( a n = a n-1 + a n-2 )。
後人也發現費氏數列有一些耐人尋味的有趣性質，當費氏數列一直算到很大或無限大的時候( 也就是n值無限大時)，後項除以前項的極限是黃金分割的值；而數學家也發現在大自然中，可以費氏數列來描述某些植物的生長規則，例如雛菊的花瓣的生長數目。後人也發現費氏數列有一些耐人尋味的有趣性質，例如：當費氏數列一直算到很大或無限大的時候(也就是n值無限大時)，後項除以前項的極限是黃金分割的值；而數學家也發現在大自然中，可以費氏數列來描述某些植物的生長規則，例如雛菊的花瓣的生長數目。
性質
費氏數列性質一：
費氏數列的通項費氏數列的通項
性質二：
a n =a nm x a m+1 + a nm-1 x a m a n =a nm xa m+1 + a nm-1 xa m
性質三：
a n和a n-1互質 a n和a n-1互質
性質四：
若 m|n 則a m |a n若m|n則a m |a n
性質五：
若 m和n互質 則a m和a n互質若m和n互質則a m和a n互質
性質六：
當m,n有最大公因數k時, a m ,a n有最大公因數a k當m,n有最大公因數k時, a m ,a n有最大公因數a k
解決問題
費氏數列一位魔術師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺、寬5英尺的長方形地毯。”這位匠師對魔術師算術之差深感驚異，因為8英尺的正方形地毯面積是64平方英尺，如何能夠拼出65平方英尺的地毯？兩者之間面積相差達一平方英尺呢！可是魔術師做到了。他讓匠師用圖2和圖3的辦法達到了他的目的！
真是不可思議！那神奇的1平方英尺究竟從哪裡跑出來的呢？這就是費氏數列（也稱作斐波那契數列）的奧妙所在。
斐波那契數列用文字來說就是，斐波那契數列由0和1開始，之後的斐波那契數（費氏數）就由之前的兩數相加。頭幾個斐波那契數是（OEIS A000045）：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………
特別指出：0不是第一項，而是第零項。這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個範例。）“√5表示根號5
很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……
讓我們再回到上文魔術師拼地毯的遊戲：為什麼64＝65？其實這是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到！
1150年印度數學家戈帕拉（Gopala）和金月在研究箱子包裝物件長寬剛好為1和2的可行方法數目時，首先描述了這個數列。在西方，最先研究這個數列的人是義大利比薩的李奧納多·斐波那契，他描述兔子生長的數目時用上了這個數列。
第一個月有一對剛誕生的兔子
第兩個月之後它們可以生育
每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
兔子永不死去
假設在n月有新生及可生育的兔子總共a對，n+1月就總共有b對。在n+2月必定總共有a+b對：因為在n+2月的時候，所有在n月就已存在的a對兔子皆已可以生育並誕下a對後代；同時在前一月(n+1月)之b對兔子中，在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育。
費氏數列斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。
需要一段“休息”時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此後，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。
另外，觀察延齡草，野玫瑰，南美血根草，大波斯菊，金鳳花，耬斗菜，百合花，蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數:3，5，8，13，21……
自然界中到處可見費氏數列的蹤跡。樹技上的分枝數，多數花的瓣數都是費氏數：火鶴 1、百合 3，梅花 5，桔梗常為 8，金盞花 13，…等等。費氏數列也出現在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時針鏇轉，另一組呈反時針。仔細瞧瞧，順時針螺線的排列數目是 8，反時針方向則為 13，而另一組常出現的數字是“5和8”。
向日葵也是一樣，常見的螺線數目為“34和55”，較大的向日葵的螺線數目則為“89和144”，更大的甚至還有“144和233”。這些全都是費氏數列中相鄰兩項的數值。
植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。
如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，可以看到所有植物的主要征貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個圓形的組織稱為“頂尖”（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為“原基”（primordium）。
生長時，每一個原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長空間。例如葉片希望得到充足的陽光，根部則希望得到充足的水份，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現好吸引昆蟲來傳粉。因此，原基與原基隔得相當開，由於較早產生的原基移開的較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。另人驚奇的是，我們若依照原基的生成時間順序描出原基的位置，便可畫出一條卷繞得非常緊的螺線——稱為“生成螺線”（generative spiral）。
費氏數列前面提到的左右鏇螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出（植物學家稱之為“斜列線”，但那並不是植物的原基生長模式的實際表征；就某種程度而言，這些螺線只是視學上的錯覺。人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因為斜列線是由相鄰的原基所形成。
晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）發現原基沿生成螺線交錯排列的數學規則。他們量測相鄰兩原基之間的角度，發現量得的各個角度非常相近；這些角的共同值就稱為“發散角”。
想像從原基的中心各畫一條直線連到頂尖的中心，然後測量這兩條線的夾角。他們發現發散角往往非常接近 137.5 度（或 222.5 度，如果從另一邊量起），也就是 ――“黃金角”。如果我們將一個圓分成兩個弧，而兩個弧的長度比為黃金比例，小弧的圓心角也就是黃金角。
