定理定義
艾森斯坦艾森斯坦判別法是說：給出下面的整係數多項式
如果存在素數p，p不整除an，但整除其他ai,(i=0,1,...,n-1)；
p²不整除a0，
那么f(x)在有理數域上是不可約的。
套用例子
給了多項式g(x)=3x4+15x²+10，試確定它能否分解為有理係數多項式之積。
試用艾森斯坦判別法。素數2和3都不適合，考慮素數p=5。5整除x的係數15和常數項10，但不整除首項3。而且52=25不整除10。所以g(x)在有理數域不可約。
有時候不能直接用判別法，或者可以代入y=x+a後再使用。
例如考慮h(x)=x2+x+2。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除x的係數1。但把h(x)代入為h(x+3)=x2+7x+14，可立刻看出素數7整除x的係數和常數項，但72=49不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。
艾森斯坦判別法得出的一個著名結果如下：
對素數p，以下多項式在有理數域不可約。
要使用艾森斯坦判別法，先作代換x=y+1。新的常數項是p，除首項是1外，其他項的係數是二項式係數，k大於0，所以可以被p除盡。
初等證明
對多項式f(x)取模p，也就是把它的係數映射到域上。這樣它便化為，其中c為非零常數。因為在域上的多項式有唯一分解，f在模p上會分解為單項式。
如果f是在有理數上可約的，那么會有多項式g,h使得f=gh。從上可知g和h取模p分別為和，滿足c=de。因為g和h模p的常數項為零，這表示g和h的常數項均可被p整除，所以f的常數項a0可以被p2整除，與f係數的假設矛盾。因此得證。
解釋
依據牛頓圖的理論在其p進制數域，我們考慮一系列點的下凸集。
(0,1)，(1,v1)，(2,v2)，...，(n−1,vn-1),(n,0),其中vi是ai關於p的最高次冪。對於一個艾森斯坦多項式，對0 <i<n,vi至少為1，v0=1vn=0,固而它的牛頓圖即點列的下凸集應當是一條從(0,1)to(n,0)的線段，其斜率為-1\n。
