英文名稱
Eisenstein Discrimination Method
簡介
這是一個判別整係數多項式在有理數域上是否可約的常用方法之一，是一個判定多項式是否可約的充分但不必要條件，定理是說:
設f（x）=a0+a1x+a2x^2+......+anx^n 是一個整係數多項式。若是能夠找到一個素數p，使得
（1）最高次項係數an不能被p整除
（2）其餘各項的係數都能被p整除
（3）常數項a0不能被p^2整除
那么多項式f（x）在有理數域上不可約。
例子
對於素數p,多項式1+x+...+x^{p-1}是p階分圓多項式，求證這個多項式不可約。如果直接使用艾森斯坦判別法，我們可以發現這個多項式並不滿足條件，這裡也說明了這個方法不是判定多項式是否可約的必要條件。現在我們做變數替換x=y+1,於是多項式變成((y+1)^p-1)/p,於是除了首項係數為1外，其餘各項都是p的倍數（這個是因為對於素數p,以及1<=t<=p-1組合數C(p,t)=p!/(t!(p-t)!)顯然是p的倍數。由於常數項為C(p,1)=p不是p^2的倍數，根據本判別法得出這個多項式不可約。
證明
假設多項式f(x)滿足條件而且可約，由於這個多項式模p為an*x^n,也就是f(x)=a_n*x^n(mod p).所以如果它可以寫成兩個多項式乘積假設f(x)=u(x)*v(x)=an*x^n(mod p).於是在模p下面u(x)和v(x)都必須是c*x^d這種形式，也就是u(x),v(x)除了最高項係數以外，其餘係數都是p的倍數。於是p|u(0),p|v(0),得到p^2|f(0),也就是f(x)的常數項必須是p^2的倍數，矛盾，所以定理得到證明。
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