經典邏輯

亞里士多德的工具論介入了他的三段論理論，它是帶有嚴格形式的判斷(judgement)的邏輯： 斷言採用四種形式，“所有 Ps 都是 Q”，“有些 Ps 是 Q”，“沒有 Ps 是 Q”，“有些 Ps 不是 Q”。這些斷定是兩對對偶的運算元，並且每個運算元都是另一個的否定，亞里士多德用他的對立四邊形總結了它們之間的聯繫。亞里士多德明確的公式化表達了排中律和無矛盾律，儘管這些定律不能在三段論框架內作為斷定來表達。

經典邏輯

經典邏輯

經典邏輯標識已經被最深入的研究和最廣泛的使用的一類形式邏輯。它們被特徵化為一些性質；非經典邏輯缺乏一個或多個這種特性，它們是:

1:排中律;

2:無矛盾律;

3:蘊涵的單調性和蘊涵的冪等性;

4:合取的交換性;

De Morgan 對偶性: 所有邏輯運算元都對偶於另一個。

經典邏輯的例子

喬治·布爾的代數的重新邏輯形式化為布爾邏輯;

Gottlob Frege 的概念文字。

Clarence Irving Lewis 的真勢模態邏輯的系統 S1-S5。

非經典邏輯

直覺邏輯拒絕排中律和 De Morgan 律；

次協調邏輯(比如雙面真理論和相干邏輯)拒絕無矛盾律；

相干邏輯、線性邏輯和非單調邏輯拒絕蘊涵的單調性；

線性邏輯拒絕蘊涵的冪等性；

可計算性邏輯是可計算性的語義構造的形式理論，相對於是真值的形式理論的經典邏輯；它整和並擴展了經典、線性和直覺邏輯;

模態邏輯向經典邏輯擴展了非真值泛函("模態")運算元。